APPLICAZIONE DEI CONCETTI DI CAMPO E POTENZIALE

TEORIA

 

In un conduttore sferico carico, tutta la carica si distribuisce uniformemente sulla sua superficie esterna. Il campo elettrico ed il potenziale, generati all’esterno di tale conduttore, sono quelli che si avrebbero qualora tutta la carica fosse concentrata nel centro del conduttore. All’interno di questo, invece, si dimostra che il campo elettrico è nullo e perciò il potenziale è costante e pari a quello della superficie.

Quando il conduttore non è sferico, le cariche si portano ancora sulla sua superficie esterna, ma la loro distribuzione non è più uniforme. La densità di carica è massima nelle regioni di raggio di curvatura minimo e viceversa. Una tale distribuzione assicura l’equipotenzialità della superficie del conduttore e delle sue regioni interne. All’esterno del conduttore, il potenziale ed il campo elettrico assumono valori non esprimibili con le solite formule V = Q/4πε₀r e E = Q/4πε₀r², ove con Q s’indica la carica totale distribuita sul conduttore. In altri termini, non è più possibile pensare di concentrare, agli effetti del calcolo del potenziale e del vettore campo elettrico dello spazio circostante il conduttore, tutta la carica nel centro del conduttore stesso. Ciò, invece, torna ad essere vero quando il potenziale ed il campo elettrico sono valutati a distanze dal conduttore grandi

rispetto alle sue dimensioni. Comunque, in prossimità di un conduttore qualunque, immerso nel vuoto, l’intensità del vettore campo elettrico è espresso dalla relazione E = σ/ε₀, mentre la direzione del campo è sempre perpendicolare alla superficie del conduttore, essendo questa equipotenziale.

Al campo elettrico di un conduttore carico è associata un’energia elettrostatica misurata dal lavoro necessario per caricare il conduttore stesso. Matematicamente è espressa dal semiprodotto della carica del conduttore per il potenziale che esso assume in virtù di essa: U_E = (1/2)QV.

L’azione attrattiva e repulsiva di un corpo carico su un conduttore elettrico produce una separazione delle cariche negative mobili (elettroni di conduzione) da quelle positive (protoni dei nuclei atomici). Fenomeni di questo genere sono detti fenomeni d’induzione, e possono essere sfruttati per caricare i conduttori inizialmente scarichi.

Un conduttore, la cui geometria e disposizione nello spazio è tale da intercettare l’azione elettrica delle cariche di una certa distribuzione, costituisce uno schermo elettrostatico per questa. Uno schermo elettrostatico, posto e mantenuto a terra, separa completamente il campo elettrico interno ad esso da quello esterno, impedendo qualunque interazione tra questi.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

E' data una distribuzione uniforme sferica di carica positiva, Q = 8.8·10^-8 C, di raggio R = 1 m. Calcolare il lavoro fatto per portare una carica q = 10^-10 C da un punto A, esterno alla sfera, distante r = 3 m dal centro della distribuzione, ad un punto B, interno ad essa.

Soluzione

Le forze del campo elettrico si oppongono allo spostamento della carica da A a B:

L = -q(V_A - V_B);

in A si ha:

V_A = Q/4πε₀r,

in B, interno, il potenziale è costante e uguale a quello sulla superficie:

V_B = Q/4πε₀R,

quindi:

L = -q(V_A - V_B) = (qQ/4πε₀)(1/R - 1/r) = 5.27·10^-8 J.

Problema n. 2

Determinare la carica necessaria per portare una sfera metallica isolata di raggio R = 0.5 m al potenziale V = 10⁶ V. Calcolare in seguito il valore del campo elettrico in prossimità della superficie sferica.

Soluzione

Il potenziale sulla superficie sferica vale:

V = q/4πε₀R,

quindi:

q = 4πε₀RV = 5.566·10^-5 C;

riguardo al campo elettrico si ha:

E = q/4πε₀R² = V/R = 2·10⁶ V/m.

Problema n. 3

Una sfera conduttrice di raggio R₁ = 9 cm, dotata di carica Q₁ = 6·10^-6 C, viene posta a contatto con due altre sfere scariche di raggio R₂ = 6 cm ed R₃ = 3 cm rispettivamente. Calcolare la carica che si trova su ciascuna delle tre sfere dopo il contatto.

Soluzione

A contatto i conduttori assumono lo stesso potenziale, quindi si ha:

Q = q₁ + q₂ + q₃,

V = q₁/4πε₀R₁ = q₂/4πε₀R₂ = q₃/4πε₀R₃,

cioè:

q₁/R₁ = q₂/R₂ = q₃/R₃,

allora:

q₁ + R₂q₁/R₁ + R₃q₁/R₁ = Q,

in definitiva:

q₁ = Q/(1 + R₂/R₁ + R₃/R₁) = 3·10^-6 C,

q₂ = R₂q₁/R₁ = 2·10^-6 C,

q₃ = R₃q₁/R₁ = 10^-6 C.

Problema n. 4

Una carica q = 10^-9 C è situata in un punto dello spazio nel quale il potenziale è V = 10² V. Essa viene introdotta in una sfera cava di raggio R = 50 cm, che possiede già una carica Q = 10^-6 C. Determinare il lavoro che si deve compiere per effettuare tale operazione.

Soluzione

Lavoro elettrostatico:

L = -q[V - V(R)] = -q[V - Q/4πε₀R) = 1.79·10^-5 J.

Problema n. 5

In prossimità di una sfera conduttrice carica, di raggio R = 0.2 m, il campo elettrico vale E = 10⁵ V/m. Determinare la densità superficiale di carica della sfera e il suo potenziale elettrico.

Soluzione

Densità superficiale di carica (equazione di Coulomb):

E = σ/ε₀,

quindi:

σ = ε₀E = 8.859·10^-7 C/m²;

potenziale elettrico:

V = Q/4πε₀R,

ma:

E = Q/4πε₀R²,

allora:

V = ER = 2·10⁴ V.

Problema n. 6

Un conduttore sferico, di raggio R = 1 m e di densità di carica superficiale σ = 10^-7 C/m², contiene nel suo centro una carica puntiforme q = 10^-6 C. Calcolare il campo elettrico ed il potenziale a r = 0.5 m e a r = 2 m dal centro del conduttore.

Soluzione

All'interno (r = 0.5 m) il campo elettrico vale:

E = q/4πε₀r² = 3.593·10⁴ V/m;

mentre il potenziale è dato dal contributo della carica interna e di quella superficiale:

V = q/4πε₀r + σS/4πε₀R,

ma:

S = 4πR²,

quindi:

V = q/4πε₀r + σR/ε₀ = 2.925·10⁴ V;

all'esterno (r = 2 m) si ha invece per il campo elettrico:

E = q/4πε₀r² + σS/4πε₀r² = q/4πε₀r² + (σ/ε₀)(R/r)² = 5.07·10³ V/m;

mentre per il potenziale si ottiene:

V = q/4πε₀r + σR²/ε₀r = ER = 1.014·10⁴ V.

Problema n. 7

E' data una sfera di cariche omogeneamente distribuite con densità volumica ρ = 10^-6 C/m³. Il raggio della sfera è R = 20 cm. Calcolare il valore del campo elettrico in un punto situato a r = 10 cm e a r = 20 cm dal centro della sfera.

Soluzione

All'interno della sfera (r = 10 cm) il campo elettrico vale:

E = q/4πε₀r²,

ma:

q = 4πρr³/3,

quindi:

E = ρr/3ε₀ = 3.76·10³ V/m;

sulla superficie della sfera (r = R), si ha:

E = ρR/3ε₀ = 7.52·10³ V/m.

Problema n. 8

Un conduttore sferico carico ha un raggio R = 20 cm. In prossimità della sua superficie esiste un campo elettrico d'intensità E = 10³ V/m. Determinare l'energia elettrostatica dell'intero campo.

Soluzione

Energia elettrostatica:

U_E = ½qV,

ma:

q = 4πε₀R²E

e

V = q/4πε₀R = ER,

quindi:

U_E = 2πε₀R³E² = 4.453·10^-7 J.

Problema n. 9

Un conduttore sferico, di raggio R = 0.5 m, viene mantenuto al potenziale V = 50 V. Calcolare l'energia elettrostatica connessa al campo da esso creato.

Soluzione

Energia elettrostatica:

U_E = ½qV,

ma:

V = q/4πε₀R,

quindi:

q = 4πε₀RV,

perciò:

U_E = ½qV = 2πε₀RV² = 6.96·10^-8 J.