TEORIA
Si definisce capacità elettrica di
un corpo il rapporto fra la carica situata su di esso e il suo potenziale. La
capacità elettrica non dipende né dalla carica né dal potenziale del corpo, ma
dalle caratteristiche geometriche di questo e fisiche del mezzo in cui il corpo
è immerso. L’unità di misura della capacità del sistema SI è il farad. Esso
individua la capacità di un corpo il cui potenziale è un volt quando la carica
su di esso depositata è di un coulomb.
Il valore della capacità elettrica di un corpo è modificato dalla presenza
di altri. È possibile realizzare strutture particolari, ad alta capacità
elettrica, denominate condensatori.
La capacità elettrica di più condensatori collegati in parallelo si ottiene sommando le
capacità elettriche dei singoli condensatori, CTOT = C1 + C2 + ... + CN.
Il reciproco della capacità elettrica di un sistema di più condensatori
disposti in serie si ottiene
sommando i reciproci delle capacità dei singoli condensatori, 1/CTOT = 1/C1 + 1/C2
+ ... + 1/CN.
Quando due cariche sono immerse in un mezzo materiale diverso dal vuoto, la
loro interazione è modificata dall'azione delle cariche elettriche del mezzo
stesso. Tale modificazione può essere espressa complessivamente dal valore di
una costante caratteristica del mezzo, detta costante dielettrica relativa εr. Entro un mezzo
materiale, la forza d'interazione coulombiana fra le cariche, l'intensità del
vettore campo elettrico, il potenziale generato da una carica elettrica, il
flusso del vettore campo elettrico uscente da una superficie chiusa S e la densità dell'energia elettrica
vengono ridotte di un fattore pari ad εr. Al contrario, la capacità
di un corpo immerso in un mezzo di costante dielettrica εr diviene εr volte maggiore che nel vuoto.
PROBLEMI
Problema n. 1
Un
condensatore è costituito da due conduttori sferici concentrici di raggio R1
= 10 cm ed R2 = 10.5 cm rispettivamente. Calcolare la capacità di questo
condensatore sferico.
Soluzione
Capacità di
un condensatore sferico:
C = 4πε0R1R2/(R2
- R1) = 2.34·10-10 F.
Problema n. 2
Due sfere
metalliche scariche sono collegate per mezzo di un sottile filo conduttore. I
loro raggi sono rispettivamente R1 = 0.1 m e R2 = 0.2 m.
All'interno della sfera più piccola viene introdotta una carica Q e si osserva
che il potenziale della seconda sfera è pari a V2 = 20 V.
Determinare il valore di Q.
Soluzione
La carica Q
si distribuisce sulle due sfere rendendole equipotenziali, quindi:
V1
= V2 = V,
cioè:
q1
= 4πε0R1V,
q2
= 4πε0R2V,
allora:
Q = q1
+ q2 = 4πε0V(R1 + R2) = 6.68·10-10
C.
Problema n. 3
Un condensatore
piano è costituito da due armature affacciate di superficie S = 1 m2,
distanti tra loro d = 1 cm. Determinare l'energia elettrostatica immagazzinata
in esso quando le due piastre vengono mantenute alla ddp V = 100 V.
Soluzione
Capacità di
un condensatore piano:
C = ε0S/d;
energia
elettrostatica immagazzinata:
UE
= ½CV2 = ½(ε0S/d)V2 = 4.43·10-6
J.
Problema n. 4
Un
condensatore, di capacità C1 = 10-10 F, viene caricato
mediante una ddp V = 50 V. Successivamente viene collegato in parallelo ad un
altro condensatore di capacità C2 = 2·10-10 F. Determinare
la carica q1 che rimane sul primo condensatore e la sua ddp V1.
Soluzione
Carica
totale del sistema:
Q = C1V
= q1 + q2;
dopo il
collegamento in parallelo la ddp non varia, quindi:
V1
= q1/C1 = q2/C2,
cioè:
q1
+ q1C2/C1 = C1V,
allora:
q1
= C12V/(C1 + C2) = 1.67·10-9
C;
la ddp vale
invece:
V1
= q1/C1 = C1V/(C1 + C2)
= 16.7 V.
Problema n. 5
Due
condensatori, di capacità C1 = 2·10-8 F e C2 =
4·10-8 F, sono disposti in serie e sottoposti alla ddp V = 90 V.
Determinare la carica depositata su ciascun condensatore e la ddp agli estremi.
Soluzione
Condensatori
in serie:
V = V1
+ V2,
q = q1
= q2,
quindi:
C1V1
= C2V2,
risolvendo
si ottiene:
V2
= C1V1/C2,
cioè:
V1
= C2V/(C1 + C2) = 60 V,
V2
= C1V/(C1 + C2) = 30 V,
Q = Q1
= Q2 = C1C2V/(C1 + C2) = 1.2·10-6
C.
Problema n. 6
Un
condensatore piano, di superficie S = 1 m2 e distanza tra le
armature d = 10 cm, viene caricato mediante una ddp V = 100 V. Successivamente
viene staccato dal generatore e la distanza tra le sue armature viene
dimezzata. Determinare la variazione della capacità del condensatore, della
carica sulle armature, della ddp, del campo elettrico e dell'energia
elettrostatica tra le armature.
Soluzione
Capacità
del condensatore piano:
C = ε0S/d
= 8.859·10-11 F,
quindi:
q = CV = 8.859·10-9
C,
UE
= ½CV2 = 4.43·10-7 J,
E = V/d = 103
V/m;
dimezzando
la distanza tra le armature, si ha:
C' = 2C = 1.772·10-10
F,
q' = q = 8.859·10-9
C,
quindi:
V' = q'/C'
= V/2 = 50 V,
E' = V'/d'
= E = 103 V/m,
U'E
= ½q'V' = UE/2 = 2.215·10-7 J.
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