OTTICA GEOMETRICA

TEORIA

 

L'ottica geometrica studia il comportamento della radiazione ottica indipendentemente dalla sua natura ondulatoria, ma assumendo come ipotesi base la propagazione rettilinea del raggio luminoso.

Valgono per l'ottica geometrica sia la legge della riflessione che quella della rifrazione.

Una superficie riflettente può dare luogo ad immagini reali o virtuali. Le prime sono definite dall'incontro di raggi reali, le seconde sono definite dall'incontro dei prolungamenti dei raggi reali. Uno specchio piano forma, di un oggetto, un'immagine virtuale posta, rispetto allo specchio, dalla parte opposta e ad una distanza uguale a quella che separa l'oggetto dallo specchio.

Uno specchio sferico si dice concavo o convesso quando tale è la superficie riflettente. Il fuoco di uno specchio concavo è quel punto ideale dell'asse ottico dello specchio nel quale convergono tutti i raggi di un fascio che incide sullo specchio parallelamente all'asse ottico. Nel caso di specchi convessi, il fuoco è definito dal prolungamento di raggi reali riflessi: è cioè un fuoco virtuale. Conoscendo la posizione del fuoco di uno specchio sferico, è possibile costruire, geometricamente, la posizione che lo specchio fornisce di qualunque oggetto.

La localizzazione delle immagini può essere fatta, in uno specchio sferico, matematicamente, mediante la formula dei punti coniugati, che lega fra loro la distanza dell'oggetto, dell'immagine e del fuoco dal vertice dello specchio.

L'ingrandimento lineare di uno specchio sferico è individuato dal rapporto tra la distanza dell'immagine e quella dell'oggetto dal vertice dello specchio.

Una sostanza foggiata a prisma rettangolare, utilizzata opportunamente, è in grado di separare le componenti monocromatiche di un fascio di luce policromatica. Tale proprietà viene utilizzata negli spettroscopi.

Si definisce diottro sferico un sistema ottico costituito da due mezzi aventi diverso indice di rifrazione, separati da una superficie sferica. Quando un diottro sferico, di piccola apertura angolare, è investito da un fascio di raggi di piccola apertura, proveniente da un punto oggetto, di questo punto il diottro forma un unico punto immagine, reale o virtuale a seconda della posizione dell’oggetto rispetto al vertice del diottro. La posizione del punto oggetto è legata a quella del punto immagine da una relazione matematica implicante le caratteristiche geometriche, il raggio di curvatura, e fisiche, l’indice di rifrazione, del diottro e del mezzo in cui è posto.

Una regione di spazio, delimitata da due superfici di cui almeno una sferica, costituisce una lente. Tale sistema ottico è caratterizzato dalla posizione di due punti particolari detti fuochi. Il fuoco di una lente convergente è definito dal punto in cui convergono, dopo la rifrazione attraverso la lente, i raggi di un fascio parallelo all’asse ottico. Il fuoco di una lente divergente è invece definito dal punto in cui convergono i prolungamenti dei raggi di un fascio parallelo all’asse ottico che, dopo rifrazione attraverso la lente, diverge.

Anche per la lente è possibile scrivere una formula che lega le distanze del punto oggetto, del punto immagine e del fuoco dal vertice della lente. Si può dimostrare inoltre che l’ingrandimento lineare di una lente è individuato dal rapporto tra la distanza dell’immagine e quella dell’oggetto dal suo vertice.

Quando una lente è di grande apertura angolare e quando i fasci incidenti su di essa sono molto aperti, ovvero discosti dall’asse ottico principale, si producono dei fenomeni di aberrazione dovuti al diverso angolo con il quale sono rifratti i raggi che incidono sulla lente con angolature differenti (aberrazione di sfericità). Quando la radiazione incidente su una lente è policromatica, la dipendenza dell’indice di rifrazione della lente dalla frequenza della radiazione, produce una diversa rifrazione dei raggi in conseguenza della quale, di un punto oggetto si formano più immagini, una per ciascuna radiazione (aberrazione cromatica).

Quando si vogliono osservare oggetti molto piccoli e vicini, o molto grandi e lontani, si utilizzano gli strumenti ottici. Il microscopio composto è un sistema ottico essenzialmente costituito da una lente obiettivo di piccola distanza focale, che forma, dell’oggetto, un’immagine reale in prossimità dell’oculare. Di questa l’oculare forma una seconda immagine, virtuale ed ingrandita, alla distanza della visione distinta. Il telescopio è un sistema ottico costituito essenzialmente da un obiettivo di grande distanza focale e da un oculare che può essere convergente o divergente. Compito del telescopio è quello di produrre un ingrandimento angolare degli oggetti.

L’occhio è l’organo della vista incaricato di ricevere gli impulsi elettromagnetici emessi dai corpi circostanti e di trasmetterli al cervello. Dal punto di vista fisico esso è schematizzabile come una lente diaframmabile, a fuoco variabile, cristallino, diottri costituiti dall’umor vitreo e dall’umor acqueo, che focalizza le immagini degli oggetti esterni su uno schermo, la retina, posto a distanza fissa da essa.

Una proprietà fondamentale di uno strumento ottico è il suo potere risolutivo, cioè la sua capacità di separare le immagini, che esso fornisce, di oggetti molto vicini. Tali immagini infatti sono in realtà figure di diffrazione prodotte dall’apertura costituita dall’obiettivo degli strumenti. 

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Uno specchio concavo ha raggio di curvatura R = 1 m. Una freccia luminosa è posta, in tempi successivi, a p = 2 m, p = 1 m, p = 0.75 m, p = 0.5 m, p = 0.25 m dal suo vertice. Calcolare la posizione dell'immagine nei cinque casi. Determinare inoltre, nelle diverse posizioni, la dimensione lineare dell'immagine fornita dallo specchio, supponendo che la freccia oggetto sia alta h = 2 cm.

Soluzione

Formula dei punti coniugati per specchi concavi:

1/p + 1/q = 1/f = 2/R,

con q posizione immagine e f distanza del fuoco dal vertice dello specchio;

q = pR/(2p - R),

per p = 2 m (oggetto oltre il centro),

q = 0.66 m (immagine tra fuoco e centro),

per p = 1 m (oggetto posto sul centro),

q = 1 m, (immagine nel centro),

per p = 0.75 m (oggetto tra fuoco e centro),

q = 1.5 m, (immagine oltre il centro)

per p = 0.5 m, (oggetto posto nel fuoco)

q = ∞, (immagine all'infinito),

per p = 0.25 m (oggetto posto tra fuoco e vertice),

q = -0.5 m (immagine oltre lo specchio, segno negativo);

ingrandimento in uno specchio concavo:

I = q/p = R/(2p - R)

e

h' = Ih = qh/p = hR/(2p - R),

quindi per p = 2 m, q = 0.66 m, si ha:

I = 0.33, h' = 0.66 cm (immagine rimpicciolita e capovolta),

per p = q = 1 m,

I = 1, h' = 2 cm (immagine uguale e capovolta),

per p = 0.75 m, q = 1.5 m,

I = 2, h' = 4 cm (immagine ingrandita e capovolta),

per p = 0.5 m, q = ∞,

I = ∞, h' = ∞ cm (immagine ingrandita e capovolta),

per p = 0.25 m, q = -0.5 m,

I = -2, |h'| = 4 cm (immagine ingrandita e diritta).

                                      

Problema n. 2

Una freccia luminosa oggetto, alta h = 2 cm, è disposta perpendicolarmente all'asse ottico di uno specchio convesso, con un estremo su di esso. La freccia è situata a p = 2 m dal vertice dello specchio e il raggio di questo è R = 1 m. Calcolare la distanza dell'immagine dal vertice dello specchio e l'ingrandimento.

Soluzione

Formula dei punti coniugati per specchi convessi:

1/p + 1/q = -1/f = -2/R,

quindi:

q = -pR/(2p + R) = -0.4 m (immagine posta tra fuoco virtuale e vertice);

ingrandimento in uno specchio convesso:

I = q/p = -R/(2p + R) = -0.2 (immagine diritta e rimpicciolita),

h' =|Ih| = hR/(2p + R) = 0.4 cm.

Problema n. 3

Una piscina contiene acqua per una profondità misurata h = 2 m. Calcolare a quale distanza, dal pelo libero dell'acqua, un osservatore localizza il fondo della piscina a lui immediatamente sottostante (n_aria = 1, n_acqua = 1.33).

Soluzione

Distanza immagine/distanza oggetto = n_aria/n_acqua:

h'/h = n_aria/n_acqua,

quindi:

h' = hn_aria/n_acqua = 1.504 m.

Problema n. 4

Una boccia di vetro (n = 1.5), di raggio R = 20 cm, contiene una sferetta metallica, di raggio trascurabile, a p = 10 cm da un punto C della sua superficie. Calcolare a quale distanza viene localizzata la sferetta da un osservatore, esterno alla boccia di vetro, che osserva la sferetta secondo la direzione sferetta-punto C.

Soluzione

Formula del diottro sferico:

n/p + n'/q = (n' - n)/R,

ove n', in questo caso (aria), vale 1 ed R segno negativo per la concavità del diottro,

q = n'pR/[(n' - n)p - nR] = -0.08 m = -8 cm (immagine dalla stessa parte dell'oggetto).

Problema n. 5

Una lente convergente piano-convessa è realizzata con vetro d'indice di rifrazione n = 1.5. Il raggio di curvatura della sua superficie sferica è R = 50 cm. Calcolare la sua distanza focale e la posizione dell'immagine di un punto luminoso, posto sul suo asse ottico, alla distanza dal suo centro, rispettivamente di p = 3 m, p = 1.5 m, p = 0.5 m.

Soluzione

Formula dei punti coniugati per una lente convergente piano-convessa:

1/p + 1/q = (n - 1)(1/r₁ - 1/r₂),

ma è anche:

1/f = 1/p + 1/q,

quindi:

1/f = (n - 1)(1/r₁ - 1/r₂),

essendo piano convessa:

r₁ = ∞,

r₂ = -R,

allora:

f =  R/(n - 1) = 1 m;

inoltre:

q = fp/(p - f),

per p = 3 m, q = 1.5 m,

per p = 1.5 m, q = 3 m,

per p = 0.5 m, q = -1 m (oggetto posto tra fuoco e lente ⇒ immagine reale).

Problema n. 6

Una lente divergente biconcava è costituita da vetro d'indice di rifrazione assoluto 1.5. Le superfici sferiche  che la delimitano hanno raggio, rispettivamente, r₁ = 50 cm e r₂ = 75 cm. Calcolata la distanza focale, determinare la dimensione lineare dell'immagine, data dalla lente, di una freccia luminosa, alta h = 3 cm, disposta alla distanza p = 2 m dal vertice della lente.

Soluzione

Formula dei punti coniugati per una lente:

1/p + 1/q = (n - 1)(1/r₁ - 1/r₂),

ma è anche:

1/f = 1/p + 1/q,

quindi:

1/f = (n - 1)(1/r₁ - 1/r₂),

essendo divergente biconcava (r₁ negativo, r₂ positivo):

f = (n - 1)r₁r₂/(r₂ - r₁) = -0.6 m = -60 cm (fuoco virtuale);

inoltre:

q = fp/(p - f) = -0.46 m (oggetto e immagine dalla stessa parte);

infine:

I = q/p = f/(p - f) = -0.23 (immagine virtuale e rimpicciolita),

h' = |Ih| = |qh/p| = 0.69 cm.

Problema n. 7

Un telescopio, il cui obiettivo ha un diametro d = 20 cm e una distanza focale f = 1.5 m, è puntato su due stelle molto vicine tra loro, visibili dal punto d'osservazione, sotto un angolo α. Calcolare il minimo valore di α sotto il quale possono essere viste distintamente le due stelle. Calcolare, inoltre, l'ingrandimento che deve fornire l'oculare per sfruttare completamente il potere risolutivo dello strumento.

Soluzione

Distanze dei centri delle immagini delle due stelle fornite dall'obiettivo:

z = fα ≥ 1.22(λ/d)f,

cioè:

α ≥ 1.22λ/d,

ponendo λ = 5700 Å = 5.7·10^-7 m (lunghezza media luce visibile), si ottiene:

α ≥ 3.477·10^-6 rad = 0.717'':

poiché il potere risolutivo dell'occhio è θ = 1', si ha:

I = θ/α = 84.