OTTICA FISICA

TEORIA

 

La radiazione ottica si propaga nello spazio vuoto con la medesima velocità in tutte le direzioni, producendo fronti di propagazione sferici di intensità decrescente con la distanza dalla sorgente.

L'interazione con i mezzi materiali distrugge, in generale, la simmetria sferica della propagazione della radiazione e può essere accompagnata da fenomeni di assorbimento della stessa.

Un fascio di radiazione ottica, incidendo su una superficie riflettente piana, dà luogo ad un fascio riflesso situato sullo stesso piano del fascio incidente e della perpendicolare al piano nel punto d'incidenza. L'angolo formato dal fascio riflesso con la perpendicolare è uguale all'angolo formato da questa con il fascio incidente.

Un fascio di radiazione ottica, penetrando in un mezzo di natura diversa da quello da cui proviene, si rifrange, dando luogo ad un fascio rifratto che giace nel piano definito dalla direzione del fascio incidente e dalla perpendicolare al piano rifrangente nel punto d'incidenza. Il seno dell'angolo d'incidenza è legato al seno dell'angolo di rifrazione da una relazione di proporzionalità diretta.

La costante di proporzionalità tra il seno dell'angolo incidente e quello dell'angolo rifratto è chiamata indice di rifrazione relativo del primo mezzo rispetto al secondo. Si dimostra che l'indice di rifrazione relativo è uguale al rapporto tra la velocità della radiazione nel primo mezzo e quella nel secondo. Il valore di questa costante dipende, oltre che dalla natura della coppia di mezzi per la quale è stabilita, anche dalla frequenza della radiazione rifratta.

Si definisce indice di rifrazione assoluto di una sostanza, l'indice di rifrazione di quella sostanza relativa al vuoto.

Quando un fascio di radiazione incide sulla superficie, che lo separa da un mezzo meno rifrangente di quello dal quale proviene, con un angolo maggiore di un certo valore, caratteristico dei due mezzi (angolo limite), non subisce alcuna rifrazione, ma si riflette totalmente nel mezzo di provenienza (riflessione totale).

Poiché l'indice di rifrazione di una sostanza dipende anche dalla frequenza della radiazione incidente, un fascio costituito da radiazioni di diversa frequenza subisce, rifrangendosi, una dispersione delle radiazioni che lo costituiscono.

Due sorgenti di radiazione ottica, vibranti in fase, emettono fasci che nei punti ove si sovrappongono obbediscono alle leggi dell'interferenza delle onde, cioè in modo tale da produrre un'interferenza costruttiva nei punti le cui distanze dalle due sorgenti differiscono di un numero intero di lunghezze d'onda e interferenza distruttiva nei punti le cui distanze dalle due sorgenti differiscono di un numero dispari di mezze lunghezze d'onda.

I fenomeni d'interferenza permettono di rilevare che la caratteristica fondamentale e invariante di una radiazione ottica è la sua frequenza. Velocità e lunghezza d'onda della stessa radiazione cambiano invece con il mutare del mezzo da essa attraversato.

Ancora fenomeni d'interferenza, prodotti dalle microscopiche sorgenti dalle quali si può pensare costituita una sottile fenditura di uno schermo illuminato, danno luogo, su un secondo schermo posto ad opportuna distanza dalla fenditura, a figure di diffrazione nelle quali compare un massimo centrale accompagnato da massimi secondari d'intensità molto inferiore, disposti simmetricamente rispetto ad esso e d'intensità decrescente con la distanza dal massimo centrale. Fenomeni di diffrazione si producono anche ai bordi degli spigoli di ostacoli investiti da radiazione e danno luogo a figure di diffrazione che impediscono una netta demarcazione tra lo spazio investito dalla radiazione e quello nascosto dall'ostacolo.

E' possibile assegnare ad una radiazione ottica un piano di vibrazione privilegiato (quello nel quale vibra il vettore campo elettrico) e, quindi, un piano di polarizzazione, definito come il piano perpendicolare a quello di vibrazione. La radiazione ottica è dunque un'onda trasversale.

La radiazione ottica ordinaria è costituita da onde elementari polarizzate in tutti i possibili piani dello spazio passanti per la sua direzione di propagazione. Alcune strutture o sostanze sono in grado di operare su tutte queste onde elementari un effetto selezionatore, lasciando passare attraverso di sé solo quella componente della radiazione che è parallela ad una loro direzione privilegiata (asse ottico). Si può ottenere, servendosi di tali sostanze, una radiazione polarizzata in un unico piano. Polarizzazione parziale delle radiazioni si accompagna anche ai fenomeni di riflessione e di rifrazione delle radiazioni stesse.

La fotometria è quella parte della fisica che si occupa del legame quantitativo tra l'aspetto fisico reale della radiazione ottica e l'aspetto fisiologico soggettivo, che è associato alla sua attitudine ad essere percepita come sensazione luminosa. All'intensità radiante di una sorgente, al flusso di radiazione associato a un'onda e all'irraggiamento di una superficie, corrispondono l'intensità luminosa della sorgente, il flusso luminoso del fascio di luce e l'illuminamento della superficie. 

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Una radiazione ottica incide su una superficie liquida, di spessore s = 2 cm, con un angolo d'incidenza i = 60°. Attraversato lo strato liquido, incontra una lastra di vetro, di spessore s' = 3 cm, dalla quale esce. Determinare l'angolo d'emergenza della radiazione e la traslazione del punto d'incidenza, sapendo che, per tale radiazione, l'indice di rifrazione assoluto dell'acqua è pari a n_acqua = 1.3, mentre quello del vetro è n_vetro = 1.5.

Soluzione

n_aria = 1,

si ha, per la rifrazione della radiazione ottica nell'acqua:

sin(i)/sin(r) = n_acqua/n_aria = n_acqua,

cioè:

sin(r) = sin(i)/n_acqua;

incidenza sulla superficie di separazione acqua - vetro:

sin(i')/sin(r') = n_vetro/n_acqua,

ma:

sin(i') = sin(r),

perciò:

sin(r)/sin(r') = n_vetro/n_acqua,

quindi:

sin(i)/sin(r') = n_vetro;

alla superficie di separazione vetro - aria:

sin(i'')/sin(r'') = n_aria/n_vetro = 1/n_vetro,

ma:

sin(i'') = sin(r') = sin(i)/n_vetro,

in definitiva si ottiene:

sin(r'')/n_vetro = sin(i)/n_vetro,

sin(r'') = sin(i),

r'' = i = 60°,

cioè l'angolo d'emergenza è uguale a quello d'incidenza;

per la traslazione del punto d'incidenza si ricava:

d = s·tg(r) + s'·tg(r') = s·sin(r)/[1 - sin²(r)]^1/2 + s'·sin(r')/[1 - sin²(r')]^1/2 = s·sin(i)/[n_acqua² - sin²(i)]^1/2 + s'·sin(i)/[n_vetro² - sin²(i)]^1/2 = 3.91 cm.

Problema n. 2

La luce gialla del sodio è, nel vuoto, di lunghezza d'onda λ_Na = 5890 Å. Calcolare la frequenza di tale radiazione nel vuoto e, in seguito, la lunghezza d'onda e la velocità in un vetro di indice di rifrazione assoluto n_vetro = 1.5.

Soluzione

Relazione tra lunghezza d'onda e frequenza di una radiazione nel vuoto:

f = c/λ,

quindi:

f_Na = c/λ_Na = 5.093·10¹⁴ Hz;

nel vetro si ottiene invece:

n_vetro = c/v_vetro,

cioè:

v_vetro = c/n_vetro = 2·10⁸ m/s;

λ_{Na, vetro} = v_vetro/f_Na = 3927 Å.

Problema n. 3

In un'esperienza analoga a quella di Young si utilizza una sorgente bicromatica. Sullo schermo, ai lati del massimo centrale, si formano dei massimi secondari, distanti tra loro D = 6·10^-3 m per la prima radiazione e D' = 7·10^-3 m per la seconda. Sapendo che la frequenza della prima radiazione è f = 5·10¹⁴ Hz, determinare la frequenza della seconda.

Soluzione

I massimi secondari, nei fenomeni di interferenza, si collocano a:

D = klλ/d, k = 0, 1, 2, ...

e

D' = klλ'/d, k = 0, 1, 2, ...;

quindi:

D/D' = λ/λ',

ma:

λ = c/f,

λ' = c/f',

cioè:

f'/f = λ/λ',

sostituendo:

f' = (D/D')f = 4.286·10¹⁴ Hz.

Problema n. 4

Un cuneo di vetro, n = 1.5, ha un angolo alla base α = 0.1'. Supponendo di illuminarlo dall'alto con radiazione di lunghezza d'onda λ = 4000 Å, determinare la posizione del primo massimo positivo per questa radiazione.

Soluzione

Spessore del cuneo nel processo di riflessione sulla sua faccia superiore  con interferenza costruttiva:

S_k = ¼λ(2k + 1)/n, k = 0, 1, 2, ...,

quindi per k = 0 si ha:

S₀ = ¼λ/n,

ma:

S₀ = x_max·tgα,

perciò:

¼λ/n = x_max·tgα,

allora:

x_max = λ/(4n·tgα) = 2.29·10^-3 m = 2.29 mm.

Problema n. 5

Un sistema di due fenditure, distanti d = 0.2 mm, è illuminato con radiazione di lunghezza d'onda λ = 5460 Å (riga verde del mercurio). La distanza dello schermo dalle fenditure è l = 30 cm. Determinare la posizione, rispetto al massimo centrale della figura d'interferenza, del primo minimo, del secondo massimo e la distanza tra due massimi consecutivi.

Soluzione

Nei fenomeni d'interferenza a due fenditure si ha:

D = k(l/d)λ, k = 0, 1, 2, ... (massimi),

D = (2k + 1)(l/d)λ/2, k = 0, 1, 2, ... (minimi),

perciò primo minimo per k = 0:

D₀ = (l/d)λ/2 = 4.1·10^-4 m = 0.41 mm,

secondo massimo per k = 2:

D₂ = 2(l/k)λ = 1.638·10^-3 m = 1.638 m;

infine la distanza tra due massimi consecutivi vale:

D_k - D_{k - 1} = (l/d)λ = 8.19·10^-4 m = 0.819 mm.

Problema n. 6

Un sistema di due fenditure è illuminato da una radiazione di frequenza f = 6·10¹⁴ Hz. sullo schermo si forma una figura d'interferenza i cui massimi sono separati dalla distanza D = 1 mm. Una seconda radiazione incognita produce, invece, una figura d'interferenza i cui massimi sono separati da una distanza D' = 1.5 mm. Calcolare la lunghezza d'onda della seconda radiazione, sapendo che il sistema è posto nell'aria.

Soluzione

Distanza tra due massimi consecutivi nei fenomeni d'interferenza a due fenditure:

D = (l/d)λ,

D' = (l/d)λ',

e

λ = c/f (n ≍ 1),

quindi:

D/D' = f'/f,

cioè:

f' = (D/D')f = 4·10¹⁴ Hz,

infine:

λ' = c/f' = 7.5·10^-7 = 7500 Å.

Problema n. 7

Una pellicola d'olio, d'indice di rifrazione n = 1.6, galleggia su una pozza d'acqua. Il suo spessore è s = 2000 Å. Calcolare la radiazione che verrà assorbita dopo la riflessione su di essa.

Soluzione

Spessore nel processo di riflessione con interferenza distruttiva:

s = ½kλ/n, k = 0, 1, 2, ...,

per k = 1, si ottiene:

λ = 2ns = 6400 Å.

Problema n. 8

In una figura di diffrazione la distanza tra i due primi minimi a cavallo del massimo centrale è D = 4 mm, quando lo schermo è posto a l = 60 cm dalla fenditura. Calcolare la larghezza della fenditura, sapendo che la lunghezza d'onda della radiazione incidente  è λ = 5000 Å.

Soluzione

Distanza tra i due primi minimi:

D = 2lλ/d,

quindi:

d = 2lλ/D = 1.5·10^-4 m = 0.15 mm.

Problema n. 9

Una radiazione polarizzata linearmente incide su una sostanza polarizzatrice. Tenendo presente che l'intensità di una radiazione ottica è, dal punto di vista classico, proporzionale al quadrato del modulo del vettore campo elettrico E che la rappresenta, determinare quale deve essere l'angolo α formato tra il piano di vibrazione della radiazione e l'asse ottico del polarizzatore perché l'intensità della radiazione, raccolta al di là di questo, sia pari a un 1/2 di quella incidente.

Soluzione

Intensità della radiazione proporzionale al quadrato del modulo del campo elettrico E:

I = kE²;

poiché deve risultare:

I' = I/2,

si ha:

(kE')² = ½(kE)²,

cioè:

E'² = ½E²;

ora è anche:

E' = Ecosα,

quindi:

E²cos²α = ½E²,

in definitiva:

cosα = √2/2,

α = 45 °.