AUTOVALORI E SEZIONI AUREE

La sezione aurea, nell'ambito delle arti figurative, dell'architettura e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due, mentre lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza.In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione:

(a + b)/a = a/b = b/(a - b).

Tale rapporto è esprimibile per mezzo della formula:

φ = (1 + √5)/2 = 1.6180.

Il numero ricavato, che esprime la sezione aurea, è un numero irrazionale e algebrico. Esso può essere ricavato come limite del rapporto fra due termini successivi della successione di Fibonacci, per n tendente ad infinito:

φ = lim_{n → ∞} F(n + 1)/F(n),

ove i termini della successione di Fibonacci sono dati dalla formula ricorsiva:

F(0) = 0, F(1) = 1, ..., F(n) = F(n - 1) + F(n - 2).

Vediamo cosa succede se partiamo da un diverso approccio matematico, basato sul calcolo delle potenze di una particolare matrice.
Ponendo

v_n = (F(n + 1), F(n)), 

si ha: v₁ = (1, 1) e dalla formula ricorsiva F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) segue che, per ogni n > 1, risulta: v_n = Av_{n - 1}, 

ove A è la matrice quadrata 2 x 2:

A = (1, 1; 1, 0).

Quindi v₂ = Av₁, v₃ = Av₂ = A²v₁ e, in generale,

v_n = A^{n - 1}v₁.

Il polinomio caratteristico di A è:

p(t) = det(A - tI) = t² - t - 1, 

quindi gli autovalori della matrice A sono t₁ = (1 - √5)/2 e t₂ = (1 + √5)/2 = φ. Gli autovettori corrispondenti sono rispettivamente u₁ = ((1 - √5)/2, 1) ed u₂ = ((1 + √5)/2, 1). Si ha allora:

A = QBQ^-1,

ove

Q = ((1 - √5)/2, (1 + √5)/2; 1, 1)

e

B = ((1 - √5)/2, 0; 0, (1 + √5)/2).

Si calcola inoltre facilmente che:

Q^-1 = (1/√5) (-1, (1 + √5)/2; 1, -(1 - √5)/2).

Si ottiene perciò:

v_n = A^{n - 1}v₁ = (QBQ^-1)^{n - 1}v₁ = QB^{n - 1}Q^-1v₁= 

= (1/√5) ((1/2^{n + 1}) ((1 + √5)^{n + 1} - (1 - √5)^{n + 1}); (1/2ⁿ) ((1 + √5)ⁿ - (1 - √5)ⁿ)),

da cui si evince la seguente formula per l’ennesimo numero di Fibonacci:

F(n) = 1/(2ⁿ√5) ((1 + √5)ⁿ - (1 - √5)ⁿ).

Anche se non è evidente dalla formula trovata, fidatevi, questi numeri sono sicuramente interi. Perché tutto questo turbinio di equazioni? Il motivo principale risiede nel fatto che alcuni fisici teorici credono che il numero aureo φ possa essere associato ad un particolare gruppo continuo di simmetria denominato E₈ x E₈ che entra in gioco in alcune teorie di unificazione delle forze in natura.