TEORIA
Le cariche in movimento generano, nello spazio
circostante, effetti, diversi da quelli elettrici, che sono attribuiti a un
“ente magnetico”.
L’ente magnetico rivela un carattere vettoriale: il suo
vettore rappresentativo viene chiamato vettore induzione magnetica B. Per individuarne direzione, verso e intensità, è
opportuno servirsi di una spira campione percorsa da corrente continua, con la
quale si esplorano i punti del campo magnetico. Precisamente:
- la direzione di B è individuata dalla direzione della perpendicolare alla
spira, quando questa non è sollecitata da alcuna coppia torcente;
- il verso di B è quello di spostamento di una vite sollecitata a
ruotare nel verso della corrente che percorre la spira;
- l’intensità di B è legata da una relazione matematica all’intensità
della corrente che circola nella spira, alla superficie di questa e al momento
meccanico che su di essa agisce per effetto, appunto, del campo d’induzione
magnetica.
In termini vettoriali si può scrivere: τ = iSn × B, ove i è l’intensità della corrente che percorre la
spira, S la sua superficie, n il versore normale alla superficie e B è
l’induzione magnetica. Le linee di forza di un campo d’induzione magnetica sono
sempre chiuse su se stesse.
Ad una spira percorsa da corrente continua è associabile
un vettore, il vettore momento magnetico della spira, la cui direzione coincide
con la perpendicolare al piano della spira, il cui verso è individuato da
quello di spostamento di una vite sollecitata a ruotare nel verso della
corrente che fluisce nella spira, la cui intensità è proporzionale
all’intensità della corrente che fluisce nella spira e alla superficie di
questa.
In termini di momento magnetico, si può affermare che
l’intensità del momento meccanico, agente su una spira immersa in un campo
d’induzione magnetica, è dato dal prodotto dell’intensità del momento magnetico
della spira, per l’intensità del vettore induzione magnetica nel centro della
spira, per il seno dell’angolo compreso tra i due vettori; con notazione
vettoriale: τ = m × B.
Il momento magnetico si misura in A∙m2; il
vettore induzione magnetica si misura in Wb/m2, essendo il weber Wb
= volt∙s.
I sistemi percorsi da corrente continua quali: un filo
indefinito, una spira, un solenoide, generano, nel proprio intorno, un campo
d’induzione magnetica la cui intensità è direttamente proporzionale alla
corrente che fluisce nell’elemento conduttore, tramite una costante chiamata
costante di permeabilità magnetica del mezzo. Questa costante, nel vuoto,
assume il valore di 4π∙10-7 H/m, avendo indicato con henry H il
prodotto ohm∙s.
PROBLEMI
Problema n. 1
Una spira, nella quale circola corrente continua,
ha una superficie S = 1 cm2. Essa si trova immersa nel vuoto, in un
campo d'induzione magnetica uniforme B1 = 0.1 Wb/m2,
perpendicolare alla spira. A questo campo se ne sovrappone un secondo B2
= B1, pure uniforme, ma parallelo alla spira. Stabilire quanto vale
la corrente che fluisce in essa, sapendo che la coppia torcente, che
inizialmente agisce su di essa, è τ = 10-6 Nm.
Soluzione
B = (B12 + B22)1/2
= √2B1;
momento meccanico = momento magnetico prodotto
vettore campo d'induzione magnetica:
τ = mB·sinα = niSB·sinα,
ma α = 45° e n = 1, quindi:
i = τ/SB·sin45° = 0.1 A.
Problema n. 2
Una bobina quadrata, di lato l = 2 cm costituita da
n = 100 spire, percorsa da una corrente i = 10-4 A, è disposta, nel
vuoto, in un campo d'induzione magnetica d'intensità B = 0.1 Wb/m2,
in modo che la sua normale formi con la direzione del campo un angolo α = 120°.
Determinare il momento meccanico iniziale al quale si trova sottoposta la
spira.
Soluzione
Momento meccanico = momento magnetico prodotto
vettore campo d'induzione magnetica:
τ = mB·sinα = niSBsin(120°) = √3nil2B/2
= 2√3·10-7 Nm.
Problema n. 3
La bobina di un galvanometro è formata da n = 50
spire di diametro d = 2 cm. Inizialmente essa è disposta in modo che la sua
perpendicolare formi, con la direzione del campo d'induzione magnetica, un
angolo α = 90°. Sapendo che l'intensità del campo vale B = 0.5 Wb/m2
e che la costante di torsione del filo è k = 10-9 Nm/°, calcolare la
corrente necessaria per produrre una rotazione della bobina di θ = 0.5°.
Soluzione
Momento meccanico = momento magnetico prodotto
vettore campo d'induzione magnetica:
τ = mB·sin(α
+ θ) = niSBsin(90° + θ) = niSB,
poiché θ << 90°;
ma è anche:
τ = kθ,
uguagliando si ha:
niSB = kθ, cioè:
i = kθ/nSB = 4kθ/nπd2B = 6.4·10-8
A.
Problema n. 4
Calcolare l'intensità del campo d'induzione
magnetica in un punto P, distante a = 10 cm da un filo rettilineo indefinito,
percorso da una corrente if = 5 A, posto nel vuoto. Successivamente
nel punto P viene disposto, in un piano perpendicolare al filo, una spira di
raggio R = 0.5 cm, percorsa da una corrente continua d'intensità is
= 1/4π A. Determinare l'intensità del campo d'induzione magnetica B in P in
questa nuova configurazione e la sua direzione rispetto al piano della spira.
Soluzione
Campo d'induzione magnetica in P, generato dal filo
rettilineo:
Bf
= μ0if/2πa = 10-5 Wb/m2;
campo d'induzione magnetica in P, generato dalla
spira:
Bs = μ0is/2R = 10-5
Wb/m2,
quindi, in definitiva, si ha:
B = (Bf2 + Bs2)1/2
= √2·10-5 Wb/m2,
e la direzione forma perciò un angolo di 45°
rispetto al piano della spira.
Problema n. 5
Un solenoide, lungo L = 50 cm e di raggio r = 1 cm,
è costituito da N = 104 spire di rame, di resistività ρ = 1.72·10-8
Ωm e di sezione S = 0.5 mm2. Ai suoi capi è collegato un generatore
di fem pari a V = 2 V. Sul suo asse è disposto un filo percorso da una corrente
continua if = 10 A, di sezione S' = 1 mm2. Determinare il
valore del campo d'induzione magnetica nel vuoto B a d = 0.5 cm dall'asse del
solenoide, trattato come indefinito.
Soluzione
Seconda legge di Ohm:
R = ρl/S,
ma l = circonferenza di una spira · numero di
spire:
l = 2Nπr,
quindi:
R = 2Nπρr/S = 21.6 Ω;
prima legge di Ohm:
is = V/R = 0.1 A;
all'interno del solenoide il campo d'induzione
magnetica vale:
Bs
= μ0nis = μ0(N/L)is = 8π·10-4 Wb/m2 =
2.5·10-3 Wb/m2;
campo d'induzione magnetica generato dal filo
rettilineo a d = 0.5 cm:
Bf
= μ0if/2πd = 4·10-4 Wb/m2;
in definitiva si ha:
B = (Bs2 + Bf2)1/2
= 4(4π2 + 1)1/2·10-4 Wb/m2 =
2.545·10-3 Wb/m2.
Nessun commento:
Posta un commento