DINAMICA ROTAZIONALE

TEORIA

 

Si definisce traslatorio il moto di un corpo i cui punti subiscono tutti il medesimo spostamento. Si definisce rotatorio il moto di un corpo i cui punti ruotano intorno ad un asse, fisso o variabile nel tempo, con la medesima velocità angolare. Si definisce rototraslatorio il moto di un corpo dotato contemporaneamente di moto rotatorio e traslatorio.

Si definisce prodotto vettore di due vettori u' e u" il vettore la cui direzione e il cui verso sono individuati dal dito medio della mano destra quando il pollice e l'indice indicano rispettivamente u' e u" e il cui modulo è individuato dal prodotto |u' x u"| = u'u"sin(α), essendo α l'angolo formato tra u' e u", avendo assunto la direzione ed il verso di u' come riferimento.

Il momento di una forza F, rispetto ad un punto O, è individuato dal prodotto vettore M = r x F, essendo r il vettore spiccato da O ed avente come suo estremo il punto d'applicazione della forza F. Il valore del momento M caratterizza il moto di un corpo rigido vincolato. Precisamente se M = 0 il corpo mantiene le condizioni iniziali, se M ≠ 0 il corpo comincia a ruotare con accelerazione angolare costante, direttamente proporzionale al modulo di M ed inversamente proporzionale al momento d'inerzia I del corpo in moto.

Per stabilire lo stato cinetico di un corpo non vincolato occorre analizzare il valore del risultante delle forze agenti e del risultante dei momenti delle forze calcolati rispetto al centro di massa del corpo. Uno studio completo ed unificato del moto di un corpo vincolato e non vincolato si può eseguire calcolando il risultante delle forze e dei momenti delle forze rispetto al centro di massa, includendo fra le forze anche quelle dei vincoli.

La presenza di parti rotanti in un sistema in moto implica l'esistenza di un'energia cinetica di rotazione, dalla quale non si può prescindere nel formulare il principio di conservazione dell'energia.

Si definisce coppia di forze il sistema di due forze di uguale intensità e direzione, opposte in verso, non aventi la medesima linea d'azione.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Su una pallina di massa m = 0.1 kg, fissa ad un estremo di una sbarra senza peso, di lunghezza l = 0.5 m, vincolata a muoversi attorno a un asse perpendicolare al piano orizzontale, agisce la forza F = 5 N per t = 5 s. Determinare la velocità angolare ω e l'angolo α descritto dopo i 5 s. Determinare inoltre l'energia cinetica finale.

Soluzione

In dinamica rotazionale il momento meccanico vale:

τ = r x F,

perciò in questo caso:

τ = Flsin90° = Fl = 2.5 Nm;

per il momento d'inerzia si ha:

I = ml²= 0.025 kgm²;

ora, per analogia con la dinamica del punto materiale, momento meccanico = momento d'inerzia · accelerazione angolare:

τ = Iγ,

quindi:

γ = τ/I = F/ml = 100 rad/s²;

da questo si ottiene:

ω = γt = 500 rad/s,

α =  ½γt² = 1250 rad;

infine per l'energia cinetica rotazionale, analogamente:

E_C = ½Iω² = 3125 J

Problema n. 2

Un volano di raggio R = 1 m ha un momento d'inerzia I = 100 kgm². Esso viene messo in rotazione da un corpo di massa m = 10 kg. Determinare la velocità di caduta del peso dopo h = 3 m di discesa.

Soluzione
Principio di conservazione dell'energia in dinamica rotazionale:

mgh = ½mv² + ½Iω²,

ma:

v = ωR,

quindi:

mgh = ½mω²R² + ½Iω² = ½(mR² + I)ω²,

cioè:

ω = √[2mgh/(mR² + I)] = 2.31 rad/s;

infine:

v = ωR = 2.31 m/s.