APPLICAZIONE DEI PRINCIPI DELLA DINAMICA

TEORIA

 

Un grave in prossimità della superficie terrestre cade, nel vuoto, lungo la verticale con un'accelerazione che vale, mediamente, g = 9.8 m/s². In presenza d'aria, la forza d'attrito che sorge, ne riduce progressivamente l'accelerazione di caduta portandola ad un regime in cui la velocità è costante.

Un grave, lanciato nel vuoto con velocità iniziale avente direzione diversa da quella dell'orizzonte terrestre, si muove secondo una traiettoria parabolica la cui gittata massima, a parità di velocità iniziale, si ha per un angolo di partenza pari a 45°. In presenza d'aria, l'arco di parabola subisce una deformazione, soprattutto nella sua fase discendente. A parità di velocità iniziale, la gittata massima in presenza d'aria si realizza per un angolo di tiro di poco inferiore ai 30°.

La velocità che un grave, scivolando su un piano inclinato privo d'attrito, possiede alla base del piano, è pari a quella che acquisterebbe cadendo secondo una traiettoria verticale caratterizzata dal medesimo dislivello. Il tempo impiegato per giungere alla base è, invece, tanto maggiore quanto meno inclinato è il piano.

Un corpo di massa m in moto circolare uniforme, con velocità periferica v, è sollecitato da una forza centripeta F(centripeta) = mv²/R, ove R è il raggio della circonferenza descritta dal corpo nel suo moto.

Si denomina elastico un urto nel quale si conserva l'energia meccanica dei corpi che si urtano ed anelastico quello durante il quale c'è parziale trasformazione dell'energia meccanica in energia termica. I fenomeni d'urto vengono studiati a partire dai principi di conservazione dell'energia e della quantità di moto. Una legge fondamentale relativa all'urto elastico frontale di due palline è la cosiddetta legge di Newton, secondo la quale la velocità relativa delle palline dopo l'urto è uguale e di segno opposto a quella prima dell'urto moltiplicata per una costante k, che viene chiamata parametro d'urto. L'urto fra i corpi avviene sempre a distanza, cioè senza che vi sia contatto fra le parti che li costituiscono.

Si definisce armonico il moto di un punto la cui accelerazione a ed il cui spostamento s, riferito ad un'origine, sono legati dalla relazione vettoriale a = -k s. La costante k è associata al periodo del moto armonico, ovvero alla sua frequenza, dalla relazione, k = 4π²/T² = 4π²f² = ω², ove ω è detta pulsazione del moto armonico. La rappresentazione grafica dell'andamento nel tempo dello spostamento, della velocità e dell'accelerazione di un punto, che si muove di moto armonico, è data da curve a forma di sinusoide.

Forze che producono moti armonici di grande interesse, sono le forze elastiche, di cui un semplice esempio ci viene offerto dalle molle elastiche. Queste, sottoposte a compressioni o a distensioni, reagiscono sviluppando una forza di richiamo proporzionale allo spostamento. La costante di proporzionalità si definisce costante elastica della molla.

Una massa m puntiforme, appesa all'estremità di un filo di lunghezza l, inestensibile e fisso all'altra estremità, costituisce un pendolo semplice. Il suo movimento è un tipico moto oscillatorio armonico. Per oscillazioni di piccola ampiezza, il suo periodo vale

T = 2π √(l/g), g essendo l'accelerazione di gravità del luogo in cui il pendolo è situato. Il pendolo semplice può essere utilizzato per misure di gravità e per determinare la velocità di rotazione della Terra.

 PROBLEMI

 

Problema n. 1

Un corpo di massa m = 50 kg ruota attorno ad un punto O, legato ad esso per mezzo di una fune senza peso, inestensibile, di lunghezza l = 10 m, in grado di sopportare una tensione massima T = 8000 N. Qual è la velocità di rotazione massima consentita al corpo? Qual è la sua frequenza?

Soluzione

All'equilibrio si ha tensione della fune = forza centripeta, cioè

T = F_C = mv²/l, 

quindi 

v² = Tl/m,

infine 

v = √(Tl/m) = 40 m/s.

Frequenza: 

f = 1/τ = ω/2π = v/2πl = 2/π Hz.

Problema n. 2

Un corpo, di massa m₁ = 0.1 kg e velocità v₁ = 10 m/s, urta anelasticamente un altro corpo, fermo, di massa m₂ = 0.2 kg. Determinare la velocità finale del sistema. 

Soluzione

Urto anelastico, quindi solo conservazione della quantità di moto:

m₁v₁ = (m₁ + m₂)v', 

cioè

v' = m₁v₁/(m₁ + m₂) = 3.33 m/s.

Problema n. 3

Un oggetto di massa m₁ = 1 kg e velocità v₁ = 10 m/s ne urta elasticamente un secondo, fermo, di massa m₂ = 0.5 kg, non frontalmente. Dopo l'urto la massa m₁ si muove secondo una direzione formante un angolo di 30° rispetto a quella iniziale. Si determinino le velocità v_1f e v_2f delle masse m₁ e m₂ dopo l'urto e la direzione di m₂.

Soluzione

Urto elastico quindi conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia cinetica:

1) conservazione della quantità di moto lungo l'asse x, 

m₁v₁ = m₁v_1fcos30° + m₂v_2fcosα;

2) conservazione della quantità di moto lungo l'asse y, 

0 = m₁v_1fsin30° - m₂v_2fsinα;

3) conservazione dell'energia cinetica, 

½m₁v₁² = ½m₁v_1f² + ½m₂v_2f²

Sistema di tre equazioni nelle tre incognite α, v_1f e v_2f, che, risolto, dà i seguenti risultati

v_1f = 2m₂v_2fsinα/m₁, 

sostituendo si ottiene

m₁v₁ = √3m₂v_2fsinα + m₂v_2fcosα = (√3sinα + cosα)m₂v_2f.

Ora è 

m₁v₁² = m₁v_1f² + m₂v_2f²,

perciò da

v₁ = (√3sinα + cosα)m₂v_2f/m₁, 

è

v₁² = (√3sinα + cosα)²m₂²v_2f²/m₁²,

allora si ha

(√3sinα + cosα)²m₂²v_2f²/m₁ =  4m₂²v_2f²sin²α/m₁ +  m₂v_2f², 

cioè

(√3sinα + cosα)² = 4sin²α + m₁/m₂, 

allora

3sin²α + 2√3sinαcosα + cos²α = 4sin²α + m₁/m₂, 

quindi

sin²α – 2√3sinαcosα – cos²α + m₁/m₂ = 0, 

dividendo per cos²α ≠ 0,

tg²α – 2√3tgα – 1 + m₁(1 + tg²α)/m₂ = 0,

ancora

(m₁/m₂ + 1)tg²α – 2√3tgα + (m₁/m₂ – 1) = 0,

risolvendo si ha

tgα = [√3 ± √(3 – m₁²/m₂² + 1)]/(m₁/m₂ + 1) = √3/3, 

allora

α = 30°, 

v_1f = v₁/√3 = 5.77 m/s 

e 

v_2f = m₁v₁/√3m₂ = 11.55 m/s.

Problema n. 4

Un pendolo semplice di lunghezza l = 10 m compie N = 100 oscillazioni in un tempo t = 450 s. Determinare l'accelerazione di gravità g_X della zona in cui il pendolo oscilla.

Soluzione

Periodo di una sola oscillazione 

T = t/N = 4.5 s.

Ma è anche 

T = 2π√(l/g_X), 

cioè 

T² = 4π²l/g_X, 

quindi

g_X = 4π²l/T² = 19.49 m/s².

Problema n. 5

Si supponga che la forza d'attrito incontrata da una sfera in moto nell'aria sia del tipo F = kv², con k = 6.2 · 10^-4 Ns²/m². Quale sarà la velocità di regime per un oggetto di massa m₁ = 0.1 kg e per un oggetto della medesima forma, e per il quale, quindi, k abbia il medesimo valore, ma di massa m₂ = 0.15 kg?

Soluzione

All'equilibrio forza peso = forza d'attrito, quindi

P₁ = m₁g = kv₁², 

perciò 

v₁ = √(m₁g/k) = 39.76 m/s,

P₂ = m₂g = kv₂², 

quindi

v₂ = √(m₂g/k) = 48.69 m/s.

Problema n. 6

Un oggetto di massa m = 100 g viene lanciato da una molla inclinata di 30° sul piano orizzontale, avente k = 1000 N/m e compressa per x = 10 cm rispetto alla sua posizione di riposo. Si determini la quota massima raggiunta dal corpo e la sua gittata.

Soluzione

Conservazione dell'energia: 

½kx² =  ½mv², 

cioè 

v = √(kx²/m) = 10 m/s.

Ora è 

v_X = vcos30° = √3v/2 = 8.66 m/s 

e 

v_Y = vsin30° = v/2 = 5 m/s;

composizione di moti:

lungo l'asse X, 

x = √3vt/2, 

lungo l'asse Y, 

y = vt/2 – ½gt²,

si ha 

t = 2x/√3v, 

sostituendo 

y = √3x/3 – 2gx²/3v²,

ponendo 

y = 0, 

si ottiene 

x₁ = 0 m, 

x₂ = √3v²/2g = 8.837 m.

Quota massima per x = x₂/2, quindi

y(x₂/2) = v²/4g – v²/8g = v²/8g = 1.275 m/s.

Problema n. 7

Una massa m = 0.2 kg ruota attorno ad un punto O con velocità v = 4 m/s, vincolata ad esso tramite una molla di costante elastica k = 10³ N/m. Si determini l'allungamento della molla.

Soluzione

All'equilibrio forza centripeta = forza elastica, quindi

F_C = mv²/x = kx = F_E, 

in definitiva

x = v√(m/k) = 0.056 m = 5.6 cm

Problema n. 8

Un pendolo semplice, di massa m = 0.1 kg e di lunghezza l = 2 m, viene spostato dalla verticale in modo che venga a trovarsi ad una quota h = 2 cm rispetto alla sua posizione d'equilibrio stabile. Si determini la velocità nel punto più basso della sua traiettoria e la tensione del filo che fornisce la forza centripeta.

Soluzione

Conservazione dell'energia: 

mgh = ½mv², 

cioè

v = √(2gh) = 0.626 m/s.

All'equilibrio tensione del filo = forza peso + forza centripeta:

T = mg + mv²/l = m(g + v²/l) = mg(1 + 2h/l) = 0.9996 N.

Problema n. 9

Un pendolo semplice ha una lunghezza l = 1 m ed una massa m = 0.1 kg. Quale dovrà essere la costante elastica di una molla, al cui estremo sia appesa un'identica massa, perché il suo periodo coincida con quello del pendolo?

Soluzione

Periodo del pendolo = periodo di oscillazione della molla, quindi

T = 2π√(l/g) = 2π√(m/k), 

perciò

l/g = m/k, 

cioè 

k = mg/l = 0.98 N/m.

Problema n. 10

Un proiettile di massa m = 10 g si muove parallelamente ad un piano orizzontale liscio con la velocità v = 400 m/s. Sul piano è disposto un blocco di legno di massa M = 2 kg, fissato con una fune inestensibile ad un punto O, alla distanza d = 1 m. Si determini la tensione che si sviluppa nel filo, durante la rotazione, nell'istante immediatamente successivo all'urto, da considerarsi perfettamente anelastico, del proiettile.

Soluzione

Urto anelastico quindi solo conservazione della quantità di moto

mv = (M + m)v', 

cioè 

v' = mv/(M + m) = 1.99 m/s

All'equilibrio tensione nel filo = forza peso + forza centripeta:

T = (M + m)g + (M + m)v'²/d = (M + m)g + m²v²/(M + m)d = 27.66 N.