LAVORO ED ENERGIA

TEORIA

Data una forza F il cui punto d'applicazione subisca uno spostamento s,  si assume come lavoro della forza il prodotto del modulo del componente F' di F sulla direzione di s per il modulo s dello spostamento stesso; matematicamente: Lavoro = F ∙ s = F s cos(α), essendo α l'angolo compreso tra i vettori F ed s. Unità di misura del lavoro sono: il joule = newton per metro nel sistema SI, l'erg = dine per centimetro nel sistema CGS. Quando il lavoro è positivo si denomina motore; quando è negativo si dice passivo o resistente.

Un esempio di lavoro passivo è quello sviluppato dalla forza d'attrito che si manifesta tra la zona di contatto della superficie del corpo in moto e la zona della superficie su cui si muove. L'intensità della forza d'attrito è proporzionale all'intensità del componente della forza premente perpendicolare alla superficie d'appoggio. Il coefficiente di proporzionalità si definisce coefficiente d'attrito. Esso dipende dalla natura delle superfici a contatto e dalle condizioni cinetiche del corpo. Se tra un corpo ed un piano esiste un coefficiente d'attrito statico k_s, il piano può essere inclinato senza produrre scivolamento del corpo, purché l'angolo α d'inclinazione non superi il valore per cui  k_s = tg(α). Il doppio cono, d'apertura α, con α tale che  k_s = tg(α), avente il vertice nel baricentro del corpo, si denomina cono d'attrito. Quando l'unica forza agente sul corpo è la forza peso, il cono d'attrito permette d'individuare immediatamente l'esistenza o meno dell'equilibrio.

Si definisce potenza media, relativa ad un certo intervallo di tempo (t', t"), il rapporto tra il lavoro L compiuto in questo intervallo di tempo e l'intervallo stesso. Unità di misura della potenza sono il watt = joule/secondo nel sistema SI e l'erg/secondo nel sistema CGS.

In fisica si definisce energia di un sistema la sua capacità di compiere lavoro. Esistono in meccanica due sole forme d'energia, energia cinetica ed energia potenziale. L'energia cinetica di un corpo di massa m, dotato di velocità v, è espressa dal semiprodotto della massa per il quadrato della sua velocità.

Quando un sistema fisico è immerso in una regione dello spazio nella quale si fanno sentire le azioni di forze in grado di produrre un lavoro dipendente solo dalla distanza dei punti estremi dello spostamento del loro punto d'applicazione, allora è sempre possibile, fissato un punto di riferimento, assegnare ad un corpo, per ogni sua posizione, un unico valore dell'energia che si denomina energia potenziale o posizionale. Le unità di misura dell'energia sono identiche a quelle del lavoro.

Nella sua forma più generale il principio di conservazione dell'energia si enuncia dicendo che: l'energia totale posseduta da un sistema isolato, qualunque ne sia la forma, è una costante. Nel caso particolare di sistemi meccanici, in cui cioè le sole energie in gioco sono quella cinetica e quella  potenziale meccanica, il  principio di conservazione dell'energia si enuncia nella forma seguente: la somma dell'energia cinetica e potenziale meccanica di un sistema isolato è costante.

In fisica si definisce macchina qualunque congegno in grado di trasformare in lavoro utilizzabile una frazione, variabile da zero ad uno, dell'energia ad esso fornita per il suo funzionamento.

Una delle forze che più comunemente s'incontrano nei sistemi naturali è quella elastica, caratterizzata dall'essere direttamente proporzionale all'entità della deformazione del sistema stesso nel quale si produce. Ad essa è associabile un'energia potenziale elastica, direttamente proporzionale al quadrato dell'entità della deformazione del sistema.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Un oggetto di peso P = 30 N viene sollevato con una forza F = 50 N alla quota h = 10 m. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza F e quello della forza peso P.

Soluzione

Lavoro della forza F:

L_F = Fh = 500 J;

lavoro della forza peso:

L_P = Ph = 300 J.

Problema n. 2

Un oggetto di peso P = 30 N viene spostato da una forza F = 20 N, agente con un angolo di 30° rispetto ad un piano orizzontale privo d'attrito, per un tratto d = 10 m. Calcolare il lavoro della forza F e quello della forza peso P.

Soluzione

Lavoro della forza peso:

L_P = Pdcos90° = 0 J;

lavoro della forza F:

L_F = Fdcos30° = 173 J.

Problema n. 3

Un corpo di massa m = 5 kg, appoggiato su un piano orizzontale scabro, viene spostato con una forza F = 40 N. Il coefficiente d'attrito radente statico vale k_s = 0.5, quello d'attrito dinamico k_d = 0.3. Determinare la forza d'attrito statico e dinamico, dire se il moto ha inizio, dire di che tipo è questo movimento e dire, infine, quanto valgono il lavoro utile ed il lavoro motore compiuto dalle forze in gioco in t = 10 s.

Soluzione

Forza peso = reazione vincolare del piano, cioè:

P = mg = N;

forza d'attrito radente statico:

F_AS = k_SN = k_Smg = 24.5 N < F,

quindi il corpo inizia a muoversi.

Forza d'attrito radente dinamico:

F_AD = k_Dmg = 14.7 N;

forza risultante:

F_R = F - F_AD = F – k_Dmg,

quindi si ha un moto rettilineo uniformemente accelerato tale che:  

a = F_R/m = (F – k_Dmg)/m;

dopo t = 10 s risulta:

d = ½ at² = (F – k_Dmg)t²/2m = 253 m;

lavoro motore:

L_F = Fd = 10120 J;

lavoro resistente:

L_A = F_ADd = 3719.1 J,

quindi lavoro utile:

L_U = L_F – L_A = (F – F_AD)d = 6400.9 J

Problema n. 4

Un pesista solleva, nell'esercizio di slancio, M = 150 kg ad un'altezza h = 1.5 m nel tempo t = 1 s. Uno scaricatore di porto dispone su un automezzo, alto h' = 1.5 m, 50 pacchi, di massa m = 3 kg ciascuno, impiegando t' = 5 min. Quanto vale il lavoro effettuato dai due uomini e qual è la potenza da essi sviluppata?

Soluzione

Lavoro del pesista:

L_P = Ph = Mgh = 2205 J;

lavoro scaricatore di porto:

L_S = nP'h' = nmgh' = 2205 J;

potenza sviluppata dal pesista:

W_P = L_P/t = 2205 watt;

potenza sviluppata dallo scaricatore di porto:

W_S = L_S/t' = 7.35 watt.

Problema n. 5

Un corpo di massa m = 10 kg, sollecitato da una forza F, si muove con accelerazione a = 3 m/s² su un piano orizzontale dotato d'attrito con k_{d  = 0.3}. Se sopra il corpo si mette una massa m₁ = 5 kg, di quanto varia l'accelerazione del corpo?

Soluzione

Secondo principio della dinamica:

F – F_A = ma,

cioè:

F = F_A + ma = k_dN + ma = k_dmg + ma = m(k_dg + a) = 59.4 N.

Con il secondo corpo aumenta la forza d'attrito ed il secondo principio della dinamica porta a scrivere:

F – F'_A = (m + m₁)a',

cioè:

a' = (F – F'_A)/(m + m₁) = [m(k_dg + a) – k_d(m + m₁)g]/(m + m₁) = (ma – k_dm1g)/(m + m₁) = 1.02 m/s².

Problema n. 6

Una forza imprime ad un corpo, che si muove su un piano senza attrito, un impulso J = 50 Ns e, nel corso della sua azione che dura t = 10 s, compie un lavoro L = 60 joule. Si determini la massa del corpo, l'entità della forza agente, lo spostamento prodotto dalla forza e la velocità finale del corpo.

Soluzione

Teorema dell'impulso e della quantità di moto:

J = Ft = mv,

ove

v = at;

lavoro di una forza:

L = Fs,

ove

s = ½ at².

Quindi si ha:

F = J/t = 5 N;

s = L/F = Lt/J = 12 m;

a = 2s/t² = 2L/Jt = 0.24 m/s²;

v = at = 2L/J = 2.4 m/s;  

m = J/v = J²/2L = 20.83 kg.

Problema n. 7

Un corpo di massa m = 5 kg si muove con velocità costante v = 10 m/s su un piano dotato d'attrito con k_d = 0.3. Si determini la forza meccanica capace di mantenere il corpo in moto e la potenza sviluppata da essa.

Soluzione

Moto rettilineo uniforme implica risultante delle forze in gioco nulla, cioè forza applicata = forza d'attrito:

F = F_A = k_dmg = 14.7 N.

Potenza sviluppata dalla forza:

W = Fv = 147 watt.

Problema n. 8

Un'automobile di massa m₁ = 1000 kg traina una roulotte di massa m₂ = 800 kg viaggiando alla velocità v = 60 km/h. Il coefficiente d'attrito della strada è pari a k_d = 0.03. Si determini la potenza sviluppata dall'automobile.

Soluzione

Moto rettilineo uniforme implica risultante delle forze in gioco nulla, cioè forza applicata = forza d'attrito:

F = F_A = k_d(m₁ + m₂)g,

quindi:

W = Fv =  k_d(m₁ + m₂)gv = 8820 watt.

Problema n. 9

Una forza F = 50 N spinge un corpo di massa m = 50 kg su un piano privo d'attrito operando uno spostamento s = 50 m. Calcolare la velocità finale del corpo sapendo che nell'istante in cui la forza ha cominciato ad agire il corpo era fermo.

Soluzione

Teorema delle forze vive:

E_C = ½mv² = Fs,

cioè:

v² = 2Fs/m,

quindi:

v = √(2Fs/m) = 10 m/s.

Problema n. 10

Si consideri un oggetto in caduta libera, sottoposto solo alla sua forza peso. In un punto A esso abbia una velocità v_A = 10 m/s. Qual è la velocità dell'oggetto in un punto B posto a h = 50 m sotto A?

Soluzione

Principio di conservazione dell'energia meccanica:

E = E_CA + E_PA = E_CB + E_PB,

con:

E_CA = ½mv_A², E_PA = mgh_A,

E_CB = ½mv_B², E_PB = mgh_B,

quindi:

½mv_A² + mgh_A = ½mv_B² + mgh_B,

cioè:

v_B² = v_A² + 2g(h_A – h_B),

infine:

v_B = √[v_A² + 2g(h_A – h_B)] = 32.86 m/s.

Problema n. 11

Una molla di costante elastica k = 1000 N/m e di massa trascurabile viene compressa per un tratto x = 1 cm rispetto alla sua posizione di riposo. Ad essa è accostata una sfera metallica di massa m = 0.1 kg. Quale sarà la velocità con cui la sfera lascia la molla?

Soluzione

Principio di conservazione dell'energia meccanica:

E_C1 + E_P1 = E_C2 + E_P2,

quindi:

½kx² = ½mv²,

infine:

v = √(kx²/m) = 1 m/s.

Problema n. 12

Una molla di massa trascurabile è disposta verticalmente. Un oggetto di massa m = 0.1 kg, appoggiato sopra di essa, produce uno spostamento dalla posizione di riposo pari a x = 0.1 cm. La molla viene compressa ulteriormente per altri x₁ = 5 cm e quindi liberata. Si determini: a) a quale altezza giunge l'oggetto proiettato verso l'alto; b) la sua velocità subito dopo il rilascio.

Soluzione

a) Legge di Hooke:

F = kx;

all'equilibrio:

P = mg = kx,

cioè:

k = mg/x = 980 N/m.

Principio di conservazione dell'energia meccanica:

½kx₁² = mgh,

cioè:

h = kx₁²/2mg = 1.25 m.

b) Principio di conservazione dell'energia meccanica:

½kx₁² = ½mv²,

allora:

v = √(kx₁²/m) = 4.95 m/s.

Problema n. 13

Un  corpo di massa m = 5 kg, inizialmente fermo, viene percosso con un martello che gli conferisce un impulso J = 50 Ns. Si determini in quanti metri una forza F₁ = 5 N e di verso opposto a quello del moto, riuscirà a fermare nuovamente il corpo. Se la superficie del piano, su cui si muove l'oggetto, è scabra, k_d = 0.2, quanti metri percorrerà in questo caso? Quanto tempo impiegherà a fermarsi?

Soluzione

Teorema dell'impulso e della quantità di moto:

J = Ft = mv,

cioè:

v = Ft/m = J/m = 10 m/s.

Teorema delle forze vive:

E_C = ½mv² = L₁ = F₁s,

quindi:

J²/2m = F₁s,

perciò:

s =  J²/2mF₁ = 50 m.

Ancora teorema delle forze vive:

E_C = ½mv² = L_A = F_As = k_dmgs,

allora:

J²/2m = k_dmgs,

cioè:

s = J²/2k_dm²g = 25.51 m.

Ora è:

F_A = k_dmg = ma,

quindi:

a = k_dg = 1.96 m/s²

e, in definitiva, si ha un moto rettilineo uniformemente decelerato:

0 = v – at,

cioè:

t = v/a = J/ k_dmg = 5.1 s.

Problema n. 14

Una forza F = 50 N agisce per s = 10 m su un corpo inizialmente fermo, appoggiato ad un piano senz'attrito, imprimendogli una velocità v = 5 m/s. Si determini la massa del corpo. Successivamente la stessa forza, agendo sul medesimo corpo appoggiato ad un piano scabro con le stesse modalità, gli fa raggiungere una velocità di soli v' = 3 m/s. Si determini il coefficiente d'attrito del piano.

Soluzione

Teorema delle forze vive:

E_C = ½mv² = Fs,

quindi:

m = 2Fs/v² = 40 kg.

Teorema delle forze vive in presenza di una forza d'attrito:

½mv² – ½mv'² = F_As = k_dmgs,

cioè:

k_d = (v² – v'²)/2gs = 0.082.

Problema n. 15

Un oggetto scende lungo una pista senz'attrito formata da due tratti: il primo di lunghezza d = 10 m ed inclinato di 60° rispetto ad un piano orizzontale, il secondo di lunghezza d' = 10 m ed inclinato di 30° rispetto ad un piano orizzontale. Si determini la velocità alla fine della discesa. Si supponga poi che la rotaia della pista sia dotata d'attrito con k_d = 0.2. Calcolare le velocità alla fine del primo e del secondo tratto.

Soluzione:

Conservazione dell'energia meccanica:

½mv² = mgh = mg(dsin60° + d'sin30°) = mg(√3d/2 + d'/2),

ma d = d', quindi:

v² = 2(√3/2 + 1/2)gd = (√3 + 1)gd,

cioè:

v = √[(√3 + 1)gd] = 16.36 m/s.

Conservazione dell'energia in presenza di forze d'attrito:

½mv'² = mgdsin60° - k_dmgdcos60° = mgd(√3/2 – k_d/2),

allora:

v'² = 2(√3/2 – k_d/2)gd = (√3 – k_d)gd,

perciò:

v' = √[(√3 – k_d)gd] = 12.25 m/s.

Ora è:

½mv''² = ½mv'² + mgd'sin30° - k_dmgd'cos30°,

cioè:

v''² = v'² + 2(1/2 - √3k_d/2)gd',

ed infine:

v'' = √[v'² + (1 - √3k_d)gd'] = 14.64 m/s.   

Problema n. 16

Un oggetto si trova ad una quota h = 10 m e scende lungo una rotaia inclinata di 60° rispetto ad un piano orizzontale. La sua velocità alla base è pari a v = 10 m/s. Si determini il coefficiente d'attrito dinamico della rotaia.

Soluzione

Conservazione dell'energia in presenza di forze d'attrito:

mgh = ½mv² + F_Ad = ½mv² + k_dNd = ½mv² + k_dmgcos60°h/sin60° = ½mv² + (√3/3)k_dmgh,

quindi:

k_d = √3(1 – v²/2gh) = 0.848.  

Problema n. 17

Due corpi, m₁ = 5 kg e m₂ = 7 kg, appoggiati ad un piano senz'attrito, vengono avvicinati, malgrado l'esistenza di una molla di lunghezza l = 10 cm, ad una distanza d = 6 cm l'uno dall'altro. La forza applicata ai due oggetti quando l'avvicinamento è completo è F = 10 N. Si determini il valore dell'accelerazione dei due corpi allorché la molla esercita la sua azione. Si valuti quindi la velocità e la quantità di moto delle due masse dopo la distensione completa della molla.

Soluzione

Seconda legge della dinamica:

F = m₁a₁ = m₂a₂,

quindi:

a₁ = F/m₁ = 2 m/s²

e

a₂ = F/m₂ = 1.43 m/s².

Conservazione della quantità di moto:

m₁v₁ = m₂v2,

conservazione dell'energia:

½kx² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂²,

ove:

x = l – d

e

v₂ = m₁v₁/m₂,

sostituendo:

kx² = m₁v₁² + m₂(m₁v₁/m₂)² = m₁(1 + m₁/m₂)v₁².

E' anche:

F = kx,

cioè:

k = F/x,

quindi:

Fx = m₁(1 + m₁/m₂)v₁²,

cioè:

v₁² = Fx/[m₁(1 + m₁/m₂)],

e, in definitiva:

v₁ = √[Fx/m₁(1 + m₁/m₂)] = 0.216 m/s.

Inoltre:

v₂ = m₁v₁/m₂ = 0.154 m/s.

Infine:

p₁ = m₁v₁ = m₂v₂ = p₂ = 1.08 kg m/s.

Problema n. 18

Un oggetto di massa m = 2 kg comprime una molla di coefficiente k = 10⁵ N/m per un tratto x = 10 cm. Improvvisamente la molla viene lasciata libera di esercitare la sua azione impulsiva sull'oggetto, il quale, scivolando su un piano dotato d'attrito con k_d = 0.1, va a comprimere un'altra molla identica, affacciata alla prima e distante da essa d = 5 m. Determinare il numero di cammini dell'oggetto.

Soluzione

Conservazione dell'energia in presenza di forze d'attrito:

½kx² =  ½mv₁² + L_A = ½mv² + k_dmgd,

perciò:

½mv² = ½kx₁²,

sostituendo:

½kx₁² = ½kx² – k_dmgd,

quindi:

½kx_n² = ½kx² – nk_dmgd.

Posto:

½kx_n² = 0,

risulta:

n = kx²/2k_dmgd = 51.