STRUTTURE FONDAMENTALI

TEORIA

 

Il modello quantistico dell’energia dei sistemi materiali con cui Planck ha interpretato lo spettro di emissione del corpo nero, il modello quantistico dell’energia della radiazione elettromagnetica con cui Einstein ha interpretato l’effetto fotoelettrico, il modello atomico a energie definite e costanti con cui Bohr ha descritto la struttura dell’atomo e interpretato gli spettri di emissione delle sostanze, hanno portato alla conclusione che la radiazione elettromagnetica presenta anche aspetti corpuscolari. Le onde elementari, costituenti la radiazione elettromagnetica, sono, cioè, trattabili come proiettili di radiazione (quanti o fotoni); proiettili d’impulso pari al rapporto tra la loro energia e la velocità della radiazione nel vuoto, p = E/c. La loro energia è misurata dal prodotto della frequenza della radiazione per la costante di Planck, E = hν, la quale misura, numericamente, la minima quantità d’energia fisicamente esistente; ogni altra quantità potendo essere solo multipla intera di essa.

In particolare, a proposito degli spettri atomici, quando un elettrone, eccitato ad un livello elettronico di energia maggiore di quella che gli compete naturalmente, ritorna al suo stato originario, emette una radiazione elettromagnetica di frequenza proporzionale al salto energetico subito. Ad emissioni continue degli atomi costituenti i corpi si deve attribuire l’esistenza dei cosiddetti spettri di emissione. Viceversa, quando una radiazione penetra in una sostanza, può suscitare quelle stesse eccitazioni energetiche che l’hanno prodotta. Ne risulta un suo parziale o totale assorbimento, in conseguenza del quale la radiazione, analizzata dopo il suo passaggio nel materiale assorbente, può mancare di alcune sue componenti; gli spettri così ottenuti sono detti spettri di assorbimento.

L’idea che la radiazione ammetta un comportamento corpuscolare è stata capovolta da de Broglie, il quale affermò che le particelle, costituenti la materia ordinaria, dovevano avere un comportamento ondulatorio, λ = h/p = h/mv.

Il tentativo di localizzare le particelle subatomiche comporta, inevitabilmente, per la struttura stessa della realtà, un’indeterminazione della loro quantità di moto. Heisenberg intuì per primo questa realtà e ne diede una sintetica formulazione, dimostrando che il prodotto dell’incertezza con la quale può essere determinata la quantità di moto di una particella per l’incertezza con la quale può essere determinata la sua posizione, non può essere minore di una quantità costante, avente l’ordine di grandezza del quanto elementare di Planck, Δp∙Δx ≥ h.

Il difetto di massa delle reazioni nucleari e i processi d’annichilazione tra particelle e corrispondenti antiparticelle confermano la relazione di Einstein, secondo la quale a un’energia E è associabile una massa m pari a E/c².

A conclusione di tutto quanto osservato, si può asserire che l’ente materia-energia si manifesta in modo duplice, essendo talvolta descrivibile come onda e talvolta come particella.  

PROBLEMI

 

Problema n. 1

La radiazione solare investe la Terra in ragione di 2 cal/(cm²min). Supponendo che la lunghezza d'onda media della radiazione solare sia λ = 5400 Å, calcolare il numero di fotoni equivalenti a tale energia.

Soluzione

Energia di un fotone:

E = hf = hc/λ = 3.68·10^-19 J;

ora è:

N_f = Q/E = 2.27·10¹⁹ fotoni.

Problema n. 2

Sapendo che l'energia necessaria a far uscire un elettrone dal sodio è E_Na = 2.3 eV, dire quale debba essere la massima lunghezza d'onda della radiazione capace di produrre emissione fotoelettrica nel sodio.

Soluzione

E_Na ≤ hc/λ,

quindi:

λ ≤ hc/E_Na = 5400 Å.

Problema n. 3

Un elettrone passa da un livello energetico nel quale la sua energia è E₁ = 0.85 eV ad un altro nel quale la sua energia vale E₂ = 10.2 eV. Determinare la lunghezza d'onda della radiazione emessa.

Soluzione

ΔE = E₂ - E₁ = hc/λ,

quindi:

λ = hc/(E₂ - E₁) = 1328 Å.

Problema n. 4

Calcolare la lunghezza d'onda di un protone da E = 10 Mev.

Soluzione

Quantità di moto di un protone:

p = m_pv,

quindi:

E = ½m_pv² = p²/2m_p;

lunghezza d'onda di de Broglie:

λ = h/m_pv = h/p;

perciò da:

p = (2m_pE)^1/2,

si ottiene:

λ = h/p = h/(2m_pE)^1/2 = 9.056·10^-15 m.

Problema n. 5

Dire quale dovrebbe essere la superficie della "vela" di un'astronave per vincere la forza gravitazionale del sole ad una distanza d = 10¹¹ m, supponendo che la massa dell'astronave sia m = 10³ kg e che la radiazione solare invii sulla superficie della vela 2 cal al minuto per ogni cm², in condizioni d'incidenza normale.

Soluzione

Legge di gravitazione universale:

F = GmM_S/d² = 12.677 N;

impulso trasferito sull'unità di superficie della vela al secondo:

p = E/c = 4.64·10^-6 Ns/m²,

quindi, in definitiva, la superficie della vela dovrebbe essere:

S = F/p = 2.732·10⁶ m².

Problema n. 6

Calcolare la frequenza emessa dall'annichilimento di una coppia elettrone-positrone.

Soluzione

Equivalenza massa-energia di Einstein:

E = 2m_ec²;

si ha anche:

E = hf = hc/λ,

quindi:

f = 2m_ec²/h = 2.473·10²⁰ Hz

e

λ = h/p = h/2m_ec = 1.213·10^-12 m.