NATURA E PROPAGAZIONE DELLE ONDE MECCANICHE

TEORIA

Si definisce genericamente onda una perturbazione periodica che si propaga nello spazio, sia esso vuoto od occupato da materia. Ciò che si propaga nello spazio non è materia, ma energia, sotto forma meccanica o elettromagnetica.

Quanto alle modalità di propagazione, le onde si distinguono in lineari, circolari e sferiche. Casi particolari di onde circolari sono le onde a fronte d'onda rettilineo, casi particolari di onde sferiche sono quelle a fronte d'onda piano. Quanto alle modalità di moto degli enti vibranti, le onde si distinguono in trasversali e in longitudinali. Nelle prime l'ente vibrante si muove in direzione trasversale a quella di propagazione dell'onda, nelle seconde si muove nella medesima direzione di propagazione dell'onda. La legge oraria dell'ente in vibrazione è quella del moto armonico semplice.

Si definisce periodo di un'onda sinusoidale il periodo del moto dell'ente in vibrazione, mentre si dice lunghezza d'onda lo spazio percorso in un periodo dalla perturbazione. Il rapporto tra la lunghezza d'onda ed il periodo individua la velocità dell'onda. Questa, in generale, dipende dalla natura del mezzo in cui si propaga l'onda e dalle sue condizioni meccaniche.

Il principio di Huyghens afferma che un fronte o una superficie d'onda, che investono i punti dello spazio, rende questi, a loro volta, sorgenti di onde secondarie, aventi la stessa frequenza dell'onda principale ed ampiezza massima nella direzione di propagazione del fronte e decrescente con l'avvicinarsi alla direzione perpendicolare a questa, ove è nulla.

Nella riflessione delle onde, l'angolo di riflessione è uguale all'angolo d'incidenza. Nel passaggio di un'onda da un mezzo ad un altro si ha, in generale, una variazione della sua velocità: ciò implica una variazione della sua lunghezza d'onda e della sua direzione di propagazione (rifrazione). La velocità di propagazione di un'onda in un mezzo materiale dipende dalla sua frequenza: questo fatto è responsabile dei fenomeni di dispersione delle onde.

L'interazione di due perturbazioni della medesima natura produce una perturbazione dello stesso tipo delle interagenti, la cui ampiezza si ottiene sommando algebricamente quella relativa alle onde di partenza (principio di sovrapposizione).

Si definisce genericamente fenomeno d'interferenza la sovrapposizione, in una certa regione di spazio, di due o più perturbazioni. In particolare, considerando l'interferenza di due onde della medesima frequenza ed ampiezza, si verifica interferenza positiva o costruttiva quando la differenza di cammino, che separa il punto d'interferenza dalle sorgenti delle onde, corrisponde ad un numero intero di lunghezze d'onda, mentre si verifica interferenza negativa o distruttiva quando tale differenza vale un numero dispari di mezze lunghezze d'onda.

L'interferenza di onde provenienti da un gran numero di sorgenti, almeno più di due, prende di solito il nome di diffrazione. Tale fenomeno è responsabile dell'aggiramento di ostacoli ovvero della formazione di coni d'ombra e della trasformazione di fronti d'onda rettilinei o piani in fronti d'onda circolari o sferici.

Qualunque sistema oscillante, eccitato da un'opportuna perturbazione periodica, si pone in vibrazione con una frequenza uguale a quella della perturbazione stessa (risonanza). Un caso particolare di risonanza si realizza nelle onde stazionarie: perturbazioni di sistemi oscillanti nei quali l'energia si trova, in condizioni di equilibrio dinamico, localizzata in regioni ben definite del sistema.

Quando la sorgente di onde non è in quiete rispetto al ricevitore o al mezzo nel quale l'onda si propaga, si verificano variazioni apparenti della frequenza della perturbazione ricevuta (effetto Doppler).

Le onde longitudinali che si propagano in un mezzo aeriforme (aria), aventi frequenza compresa approssimativamente fra i 16 e i 16000 hertz e di ampiezza superiore ad un certo valore, sono suscettibili di essere percepite da un udito normale sotto forma di sensazioni sonore. Caratteri fondamentali fisiologici del suono sono l'altezza, l'intensità ed il timbro. Essi sono associati, rispettivamente, alle grandezze fisiche frequenza, ampiezza e composizione armonica dell'onda. L'intensità fisiologica di un suono non è proporzionale all'intensità fisica di questo bensì al logaritmo di questa grandezza.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Una corda d'acciaio, lunga l = 7 m, di massa m = 70 g, è tesa con una forza T = 1500 N. Determinare la velocità di propagazione delle onde trasversali che in essa si generano.

Soluzione

Densità lineare:

μ = m/l = 10 g/m;

velocità di propagazione dell’onda:

v = √(T/μ) = 387.3 m/s.

Problema n. 2

In una corda elastica, di densità lineare μ = 100 g/m, sottoposta alla tensione T = 9.8 N, viene prodotta un'onda sinusoidale di pulsazione ω = 4π s^-1 e d'ampiezza massima A = 10 cm. Determinare: 1) l'elongazione; 2) la velocità; 3) l'accelerazione e lo sfasamento di un punto P, distante x = 2 m dall'origine, all'istante t = 0.1 s e t = 1 s; 4) l'energia che attraversa il punto P in t' = 5 s.

Soluzione

Velocità di propagazione dell'onda:

v₀ = √(T/μ) = 9.8 m/s;

equazione d'onda:

S(P, t) = A·sin[ω(t - x/v₀)],

quindi:

v(P, t) = -ωA·cos[ω(t - x/v₀)],

a(P, t) = -ω²A·sin[ω(t - x/v₀)]

e

φ = ωx/v₀;

si ha all'istante t = 0.1 s:

S(P, t = 0.1 s) = -0.002 m,

v(P, t = 0.1 s) = -1.256 m/s,

a(P, t = 0.1 s) = 0.36 m/s²,

φ = 40π/49;

all'istante t = 1 s invece risulta:

S(P, t = 1 s) = 0.017 m,

v(P, t = 1 s) = -1.24 m/s,

a(P, t = 1 s) = -2.74 m/s²,

φ = 40π/49;

energia trasportata da un'onda:

E = ½mω²A²,

essendo:

m = μ·v·t' = 4.9 kg,

si ottiene:

E = ½(μ·v·t')ω²A² = 3.87 J.

Problema n. 3

Un'onda periodica si propaga in una corda metallica della quale, un primo tratto, ha densità lineare pari a μ = 20 g/m e un secondo tratto ha densità lineare μ' = 30 g/m. Determinare il rapporto tra le lunghezze d'onda della perturbazione nel primo e nel secondo mezzo.

Soluzione

Velocità di propagazione dell'onda:

v = √(F/μ),

v' = √(F/μ');

quindi:

v/v' = √(μ'/μ);

legame tra velocità della perturbazione ondosa e lunghezza d'onda:

λ = vT,

λ' = v'T,

allora:

v/v' = λ/λ' = √(μ'/μ) = 1.225.

Problema n. 4

Un filo d'acciaio di lunghezza l = 1 m e densità lineare μ = 7 g/m è fissato ai due estremi. Quando esso vibra, formando un solo ventre, la sua frequenza risulta essere f = 180 s^-1. Calcolare la velocità di propagazione delle onde nel filo, la tensione del filo e lo spostamento massimo del ventre del filo, sapendo che la sua accelerazione massima è a = 70 m/s².

Soluzione

Lunghezza d'onda della perturbazione:

λ = 2l/n,

per n = 1, si ha:

λ = 2l = 2 m,

quindi: v = λf = 2lf = 360 m/s;

ma:

 v = √(F/μ),

cioè:

F = 4l²f²μ = 907.2 N;

ora è:

a(P, t) = -ω²A·sin[ω(t - x/v₀)],

A massimo per:

sin[ω(t - x/v₀)] = 1,

in definitiva:

A_max = |-a/ω²| = a/4π²f² = 5.5·10^-5 m.

Problema n. 5

In una vaschetta colma d'acqua vengono prodotte onde rettilinee che si muovono alla velocità v = 2 m/s, fino a formare un'onda stazionaria. Il numero dei ventri è k = 10. Determinare la lunghezza d'onda e la frequenza delle onde, sapendo che la lunghezza della vaschetta è l = 1 m.

Soluzione

Lunghezza d'onda dell'onda stazionaria:

λ = 2l/k = 0.2 m,

quindi per la frequenza dell'onda si ha:

f = v/λ = 10 s^-1 = 10 Hz.

Problema n. 6

In un tubo di Kundt, lungo l = 1 m, contenente aria a condizioni normali, v = 330 m/s, eccitato da un suono di frequenza f = 1500 Hz, si formano k = 9 nodi di pressione, cioè 9 ventri di spostamento longitudinale delle particelle. Riempiendo lo stesso tubo d'idrogeno, si osserva che la stessa configurazione si ottiene con una frequenza f' = 5800 Hz. Calcolare la velocità di propagazione del suono nell'idrogeno.

Soluzione

Lunghezza d'onda dell'onda stazionaria (k = 9):

λ = 2l/k = 2/9 m = 0.22 m,

ma è anche:

λ = v/f = 0.22 m;

per l'idrogeno si ha:

v' = λf' = 2lf'/k = 1288.9 m/s.

Problema n. 7

Due diapason identici emettono un suono di frequenza f₁ = 340 Hz. Quando la massa di uno di essi viene variata di poco, si raccoglie un battimento di frequenza f_B = 6 Hz. Determinare la frequenza f₂ di vibrazione del diapason di cui è stata variata la massa.

Soluzione

Frequenza del battimento:

f_B = f₂ - f₁,

cioè:

f₂ = f₁ + f_B = 346 Hz;

frequenza del suono risultante:

f = (f₁ + f₂)/2 = 343 Hz.

Problema n. 8

Una corda elastica, di lunghezza l = 50 cm e di densità lineare μ = 10^-2 kg/m, è posta sopra un tubo aperto ad un estremo, contenente aria e della lunghezza l' = 30 cm. Con la vibrazione fondamentale della corda si vuole far risuonare la prima armonica del tubo. Determinare la tensione che deve presentare la corda.

Soluzione

Lunghezza d'onda nel tubo aperto ad un estremo:

λ' = 4l'/(2n + 1), n = 0, 1, 2, ...,

prima armonica per n = 1,

quindi:

λ' = 4l'/3 = 40 cm = 0.4 m;

essendo v_s = 336 m/s, si ottiene:

f = v_s/λ' = 3v_s/4l' = 840 Hz;

lunghezza d'onda della vibrazione fondamentale della corda:

λ = 2l = 1 m,

quindi:

v = λf = 2lf = 840 m/s,

ma è anche:

v = √(T/μ),

in definitiva:

T = μv² = 4μl²f² = 7056 N.