LEGGI DELL'INDUZIONE E AUTOINDUZIONE

TEORIA

 

Quando un circuito elettrico o un tratto di esso o, comunque, una qualunque porzione di conduttore, si muovono in un campo d’induzione magnetica, si induce in essi una forza elettromotrice responsabile, a circuito aperto, di una d.d.p. ai capi del conduttore e, a circuito chiuso, di una circolazione di corrente nel circuito stesso. L’indagine microscopica del fenomeno mostra che, responsabile di tale f.e.m. è la forza che opera sugli elettroni di conduzione dei conduttori in movimento immersi nel campo d’induzione magnetica.

La corrente indotta, eventualmente circolante, produce effetti meccanici e magnetici che si oppongono alla causa che l’ha prodotta, legge di Lenz. L’energia spesa per produrre una qualunque corrente indotta in un circuito chiuso è eguagliata dall’energia che la corrente stessa dissipa, per effetto Joule, nel circuito.

Quando si verifica una variazione del flusso del vettore induzione magnetica, concatenato ad un circuito, si induce nel circuito stesso una f.e.m. che produce una corrente elettrica la cui intensità è direttamente proporzionale, ma opposta in segno, all’entità di tale variazione, espressa dalla legge di Faraday-Neumann.

Quando in un circuito circola corrente, questa genera attorno a sé un campo d’induzione magnetica. Il flusso di tale campo, concatenato al circuito, è proporzionale alla corrente che percorre il circuito stesso. Il coefficiente di proporzionalità di tale relazione è chiamato coefficiente di autoinduzione.

Ogni variazione dell’intensità della corrente elettrica nei circuiti, dovuta, ad esempio, a processi d’apertura e di chiusura del circuito, causa una variazione del flusso d’induzione magnetica concatenato al circuito e, quindi, provoca, nel contempo, una corrente indotta che, per la legge di Lenz, ritarda il raggiungimento delle condizioni di regime.

Ad ogni campo d’induzione magnetica si deve pensare associata una quantità d’energia magnetica corrispondente alla potenzialità del campo di compiere lavoro di natura elettrica, producendo correnti indotte durante il proprio annullamento. La densità d’energia magnetica è direttamente proporzionale al quadrato dell’intensità del campo magnetico, formalmente espressa da: densità energia magnetica = ½µH².

Sfruttando la variazione del verso della corrente che si genera, in una spira rotante, in un campo d’induzione magnetica, è possibile realizzare apparecchiature i cui poli sono sedi di correnti alternativamente entranti ed uscenti, le cosiddette correnti alternate. Tramite opportuni collettori è possibile realizzare macchine che, sfruttando il principio della produzione di corrente in una spira rotante immersa in un campo d’induzione magnetica, generano corrente alternata (alternatori) e continua (dinamo).

Una particolare disposizione di due circuiti elettrici, magneticamente concatenati, permette di realizzare amplificazioni o riduzioni delle tensioni delle linee conduttrici d’energia elettrica (trasformatori).

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Una sbarretta conduttrice, di lunghezza l = 10 cm, cade, mantenendosi parallela a se stessa, in un campo d'induzione magnetica, perpendicolare alla direzione del suo movimento, d'intensità B = 0.1 Wb/m². Scrivere la legge con la quale varia la fem ai suoi estremi ed il suo valore dopo h = 20 cm di caduta.

Soluzione

Forza di Lorentz:

F = evB,

allora gli elettroni nella sbarretta risentono del campo elettrico:

E = F/e = vB,

quindi la fem indotta vale:

fem = V= El = Blv,

ma:

v = gt,

perciò:

fem = V(t) = Blgt,

la fem indotta è una funzione lineare del tempo;

ora è:

h = ½gt²,

cioè:

v = (2gh)^1/2 = 1.98 m/s,

in definitiva:

fem = Blv = 1.98·10^-2 V.

Problema n. 2

Un telaio rettangolare, di lati l₁ = l₃ = 30 cm, l₂ = l₄ = 100 cm e di densità lineare λ = 0.106 kg/m, cade verticalmente in un campo d'induzione magnetica uniforme, perpendicolare al suo piano di giacitura, d'intensità B = 1 Wb/m². Il telaio inizialmente è fermo e, dopo t = 3 s, il suo lato l₃ giunge al limite estremo del campo. Determinare il valore della fem indotta che si genera entro il telaio nei diversi momenti della sua caduta e l'intensità della corrente indotta, essendo la sua resistenza totale pari a R = 0.98 Ω. Stabilire inoltre di che tipo è il moto con cui il telaio procede fino alla sua totale uscita dal campo d'induzione magnetica. Valutare, infine, con il teorema di conservazione dell'energia, l'energia dissipata per effetto Joule.

Soluzione

Quando il telaio è completamente immerso nel campo d'induzione magnetica, le forze agenti sulle cariche (elettroni) s'equilibrano e la fem è nulla; dopo t = 3 s, il lato l₃ esce dal campo, quindi si genera una fem indotta:

fem = Bl₁v = Bl₁gt = 8.82 V,

essa produce un flusso di corrente indotta pari a:

i = V/R = Bl₁gt/R = 9 A;

il circuito, essendo percorso dalla corrente indotta, si troverà soggetto a 4 forze:

1) forza peso:

P = mg = λ(l₁ + l₂ + l₃ + l₄)g = 2.7 N;

2) forze sui lati 2 e 4 uguali ed opposte:

F₂ = F₄ = il₂B = l₁l₂B²gt/R = B²Sgt/R = 9 N;

3) forza sul lato 1, detta reazione magnetica:

F₁ = il₁B = B²l₁²gt/R = 2.7 N,

cioè:

P = F₁,

quindi a t = 3 s, v diventa costante e vale:

v = gt = 29.4 m/s;

dopo t = l₂/v secondi, il telaio uscirà completamente dal campo e l'energia dissipata per effetto Joule sarà:

Q = i²Rt = (Bl₁gt/R)²Rl²/gt = B²Sl₁gt/R = 2.7 J;

si ottiene lo stesso risultato applicando il teorema di conservazione dell'energia:

Q = i²Rt = mgh = mgl₂ = 2.7 J.

Problema n. 3

Una spira quadrata, di lato l = 10 cm, costituita da un filo di resistenza complessiva R = 0.01 Ω, viene portata in una regione di spazio nella quale il campo d'induzione magnetica, costante, vale B = 0.5 Wb/m². Rispetto alla direzione del campo, la perpendicolare della spira forma un angolo θ = 45°. Determinare la carica totale ΔQ che percorre la spira in conseguenza del suo movimento.

Soluzione

Legge di Faraday-Neumann:

i = (1/R)ΔΦ(B)/Δt = (1/R)BScosθ/Δt = (√2/2R)Bl²/Δt,

quindi:

ΔQ = iΔt = (√2/2R)Bl² = 0.35 C.

Problema n. 4

Una spira circolare, costituita da N = 10.5 spire di raggio r = 10 cm, realizzate con un filo di diametro d = 0.2 mm e fatto con materiale di resistività ρ = 1.5·10^-8 Ωm, è disposta, perpendicolarmente, in un campo d'induzione magnetica, variabile nel tempo, secondo la legge B = kt + B₀, con k = 0.1 Wb/m²s e B₀ = 1 Wb/m². Determinare il valore dell'intensità di corrente che circola nella spira.

Soluzione

Seconda legge di Ohm:

R = ρl/S;

ora è:

l = N·2πr = 2Nπr,

S = πd²/4,

quindi:

R = ρl/S = 8Nρr/d² = 3.15 Ω;

legge di Faraday-Neumann:

i = (1/R)dΦ(B)/dt = (S/R)d(kt+B₀)/dt = kS/R = kπr²/R = 10^-3 A.

Problema n. 5

Un solenoide, costituito da N = 5000 spire di raggio r = 5 cm, è immerso in un campo d'induzione magnetica, variabile nel tempo, secondo la legge B(t) = kt, con k = 0.1 Wb/m²s. L'asse del solenoide è disposto parallelamente alla direzione del campo. Calcolare la fem indotta che si genera nel solenoide.

Soluzione

Legge di Faraday-Neumann in un solenoide:

fem = dΦ(B)/dt = NSdB(t)/dt = Nπr²d(kt)/dt = kNπr² = 3.93 V.

Problema n. 6

Una bobina, formata da N = 100 spire di raggio r = 10 cm, è immersa in un campo d'induzione magnetica uniforme d'intensità B = 4·10^-3 Wb/m². Inizialmente il campo d'induzione magnetica è perpendicolare ad uno dei diametri della bobina e parallelo al piano della stessa. Se si ruota di 90° la bobina, attorno a questo diametro, in un tempo Δt = 0.5 s, determinare quale sarà la fem media indotta nella spira.

Soluzione

Legge di Faraday-Neumann in una bobina:

fem = ΔΦ(B)/Δt = NSB/Δt = Nπr²B/Δt = 2.51·10^-2 V.

Problema n. 7

Una sbarretta metallica, di lunghezza l = 3.3 cm, scivola su una guida pure metallica, foggiata ad U, in un campo uniforme d'induzione magnetica B = 10 Wb/m². Ad un certo istante la velocità della sbarretta è v = 30 cm/s e la resistenza del circuito è R = 10^-2 Ω. Calcolare la fem generata dal moto della sbarra e la potenza dissipata in esso per effetto Joule.

Soluzione

Legge di Faraday-Neumann:

fem = ΔΦ(B)/Δt = BΔS(t)/Δt,

ma:

ΔS = lh = lvΔt,

sostituendo si ha:

fem = ΔΦ(B)/Δt = BΔS/Δt, = Blv = 0.1 V;

Potenza dissipata per effetto Joule:

W = i²R = V²/R = 1 watt.

Problema n. 8

Una sbarra conduttrice, di lunghezza l = 0.5 m, ruota, con una frequenza f = 10 Hz, in un campo d'induzione magnetica uniforme B = 1 Wb/m². L'asse di rotazione passa per un suo estremo ed ha la direzione delle linee di forza del campo. Determinare la ddp registrabile agli estremi della sbarra.

Soluzione

Legge di Faraday-Neumann:

V = dΦ(B)/dt = BdS(t)/dt,

ma:

dS(t) = ½lds = ½l·ldθ,

sostituendo si ottiene:

V = dΦ(B)/dt = BdS(t)/dt = ½Bl²dθ/dt = ½Bl²ω,

ed ancora:

ω = 2πf,

quindi:

V = πBl²f = 7.854 V.

Problema n. 9

Calcolare il coefficiente di autoinduzione di un solenoide, di lunghezza l = 50 cm e raggio r = 1 cm, costituito da N = 1000 spire, immerso nel vuoto.

Soluzione

Campo d'induzione magnetica all'interno del solenoide:

B₀ = μ₀ni = μ₀(N/l)i;

flusso concatenato con una spira:

Φ₁(B) = B₀S = μ₀π(N/l)r²i,

quindi quello concatenato con N spire:

Φ_N(B) = NΦ₁(B) = μ₀πN²r²i/l,

ma è anche:

Φ_N(B) = Li,

in definitiva il coefficiente di autoinduzione di un solenoide vale:

L = Φ_N(B)/i = μ₀πN²r²/l = 7.9·10^-4 H