INTERAZIONE TRA CAMPO D’INDUZIONE MAGNETICA E CARICHE ELETTRICHE

TEORIA

 

Ogni elemento di filo percorso da corrente elettrica, immerso in un campo d’induzione magnetica costante su tutto l’elemento, è sottoposto a una forza individuata in direzione, verso e intensità, dalla relazione vettoriale F = il × B.

Una carica in moto, entro un campo d’induzione magnetica, è soggetta ad una forza la cui direzione, il cui verso e la cui intensità sono individuate dalla relazione vettoriale F = qv × B, F essendo la cosiddetta forza di Lorentz e v la velocità della carica q.

Si definisce unità d’intensità di corrente, ampere, quella corrente che, fluendo nello stesso senso in due fili rettilinei indefiniti paralleli, posti alla distanza di un metro, fa sì che uno dei due fili attragga un metro dell’altro con la forza di 2∙10^-7 N.

Uno strumento di misura elettrodinamico permette di misurare l’intensità di corrente o la d.d.p. sfruttando la rotazione alla quale una spira percorsa da corrente è sottoposta quando è immersa in un campo d’induzione magnetica.

Una carica lanciata in un campo d’induzione magnetica, costante e perpendicolare alla sua direzione di moto, descrive una traiettoria circolare il cui raggio è direttamente proporzionale alla quantità di moto della carica e inversamente proporzionale all’entità della carica e al campo d’induzione magnetica, R = mv/qB.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Un filo, lungo l = 20 cm, è percorso da una corrente i = 5 A e forma un angolo θ = 60° con la direzione di un campo d'induzione magnetica uniforme di modulo B = 1 Wb/m². Calcolare l'intensità della forza agente sul filo.

Soluzione

Forza agente sul filo:

F = ilBsinθ = ilBsin(60°) = (√3/2)ilB = √3/2 N.

Problema n. 2

In un piano passante per un filo rettilineo, indefinito, percorso da una corrente i = 10 A, giace una spira quadrata, di lato l = 0.3 m, percorsa pure essa dalla corrente i = 10 A e distante d = 0.2 m dal filo. Determinare la forza risultante agente sulla spira.

Soluzione

Le forze agenti sui lati, della spira quadrata, perpendicolari al filo si neutralizzano a coppie, mentre quelle agenti sui lati paralleli al filo hanno verso opposto e diversa intensità:

F₁ = ilB₁,

F₂ = ilB₂,

con:

B₁ = μ₀i/2πd,

B₂ = μ₀i/2π(d + l),

quindi:

F₁ = μ₀li²/2πd = 3·10^-5 N,

F₂ = μ₀li²/2π(d + l) = 1.2·10^-5 N,

in definitiva:

F = F₁ - F₂ = 1.8·10^-5 N.

Problema n. 3

Due spire, di raggio R = 10 cm, percorse da una corrente continua i = 2 A, sono disposte l'una sull'altra alla distanza d = 1 cm. Calcolare l'intensità della forza agente tra le due spire.

Soluzione

Essendo d << R, si può scrivere:

F = ilB,

con:

B = μ₀i/2πd,

l = 2πR,

quindi:

F = ilB = μ₀i²R/d = 5.03·10^-5 N.

Problema n. 4

Una spira quadrata, di lato l = 20 cm, giace in un piano verticale ed è disposta parallelamente ad un filo rettilineo di lunghezza indefinita, percorso dalla corrente i_f = 2 A. Nella spira viene fatta circolare una corrente i_s = 0.2 A in verso orario. Determinare il valore della forza risultante agente sulla spira, sapendo che questa dista, con il suo lato più vicino al filo, d = 10 cm.

Soluzione

Le forze agenti sui lati, della spira quadrata, perpendicolari al filo si neutralizzano a coppie, mentre quelle agenti sui lati paralleli al filo hanno verso opposto e diversa intensità:

F₁ = i_slB₁,

F₂ = i_slB₂,

con:

B₁ = μ₀i_f/2πd,

B₂ = μ₀i_f/2π(d + l),

quindi:

F₁ = μ₀li_fi_s/2πd = 16·10^-8 N,

F₂ = μ₀li_fi_s/2π(d + l) = 5.3·10^-8 N,

in definitiva:

F = F₁ - F₂ = 1.07·10^-7 N.

Problema n. 5

Due fili indefiniti, paralleli e distanti d = 1 m l'uno dall'altro, sono percorsi dalle correnti i₁ = 10 A ed i₂ = 5 A, fluenti nello stesso verso. Nella striscia da essi definita si può muovere un terzo conduttore rettilineo, non necessariamente indefinito, percorso dalla corrente i₃ = 1 A in senso inverso. Determinare la posizione d'equilibrio di quest'ultimo filo.

Soluzione

All'equilibrio:

F₁₃ = F₂₃;

ora è:

F₁₃ = μ₀i₁i₃l/2πx,

F₂₃ = μ₀i₂i₃l/2π(d - x),

quindi:

i₁/x = i₂/(d - x),

cioè:

x = i₁d/(i₁ + i₂) = 0.67 m.

Problema n. 6

Un elettrone, avente energia U_e = 20 eV, si muove su un'orbita piana circolare, normale alle linee di forza di un campo d'induzione magnetica uniforme, di modulo B = 10^-4 Wb/m². Determinare il raggio dell'orbita, la frequenza di rivoluzione ed il momento magnetico ad esso associato.

Soluzione

Energia dell'elettrone:

U_e = ½m_ev² = eV,

quindi:

v = (2eV/m₂)^1/2;

ora è forza centripeta = forza di Lorentz:

m_ev²/R = evB,

cioè:

R = m_ev/eB = (2m_eV/eB²)^1/2 = 0.151 m;

frequenza di rivoluzione:

f = ω/2π = v/2πR = eB/2πm_e = 2.798·10⁶ Hz;

a tale moto è associato un momento magnetico:

m = iS = (e/T)πR² = πefR² = eV/B = 3.2·10^-14 Am².

Problema n. 7 Ad un certo istante, un protone si trova sull'asse di un solenoide, diretto perpendicolarmente rispetto ad esso. Le caratteristiche del solenoide sono: raggio di una spira R_s = 10 cm, numero di spire per centimetro n = 50, intensità della corrente in esso circolante i = 2 A. Calcolare quale deve essere la massima energia cinetica del protone perché non sfugga dal solenoide.

Soluzione

Perché il protone non sfugga dal solenoide deve essere:

R_p ≤ R_s/2;

ora è forza centripeta = forza di Lorentz:

m_pv²/R_p = evB,

cioè:

R_p = m_pv/eB ≤ R_s/2,

allora:

v ≤ eBR_s/2m_p,

ma il campo d'induzione magnetica generato da un solenoide vale:

B = μ₀ni,

quindi:

v ≤ μ₀neiR_s/2m_p = 6.013·10⁴ m/s;

in definitiva:

K_{p, max} = ½m_pv² = 3.023·10^-18 J.