LA LEGGE DI COULOMB E IL CAMPO ELETTRICO

TEORIA

 

Nel sistema SI la grandezza fondamentale che si deve aggiungere a quelle meccaniche di massa, lunghezza e tempo, per descrivere i fenomeni elettromagnetici è l’intensità di corrente elettrica. L’unità di questa grandezza viene chiamata ampere e le sue dimensioni sono indicate dal simbolo [A]. A partire dall’ampere, si definisce unità di carica elettrica (coulomb) quella carica che, nell’unità di tempo, passa attraverso una superficie S dello spazio quando questa è attraversata da un flusso di cariche elettriche d’intensità un ampere. Quindi risulta i = dq/dt, cioè dq = idt.

Due cariche poste alla distanza r, esercitano tra di loro una forza la cui direzione coincide con la relativa congiungente, la cui intensità è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza (legge di Coulomb); forza che dipende dal mezzo interposto e il cui verso indica il sussistere di repulsione quando le cariche sono dello stesso segno e d’attrazione quando sono di segno opposto F = kq₁q₂/r². La costante di proporzionalità della legge di Coulomb si scrive normalmente nella forma k = 1/4πε. La nuova costante ϵ viene chiamata costante dielettrica del mezzo in cui si trovano immerse le due cariche. Il suo valore nel vuoto è pari a 8,859·10^-12 C²/(Nm²).

Si definisce campo elettrico la regione di spazio nella quale si fa sentire l'influenza di una carica elettrica. In ogni punto di un campo elettrico è precisabile un vettore detto vettore campo elettrico, definito dalla relazione vettoriale E = F/q, ove q rappresenta la carica esploratrice del campo elettrico ed F la forza d’interazione tra essa e la carica che genera il campo. Nel sistema SI il vettore campo elettrico si misura in N/C. Poiché il campo elettrico è grandezza vettoriale, il valore del campo elettrico generato da una distribuzione di cariche continua o discreta in un punto P si ottiene sommando vettorialmente il campo elettrico generato in P da ogni carica della distribuzione.

La particolare forma matematica che esprime l’intensità del vettore campo elettrico dipende dalla distribuzione delle cariche responsabili del campo. Ad esempio, nel caso in cui la carica generatrice sia puntiforme e immersa nel vuoto, l’intensità del vettore campo elettrico a distanza r da essa è data dalla formula E = Q/4πε₀r².

Si definisce linea di forza del campo elettrico il luogo dei punti per i quali il campo elettrico in ciascuno di essi è rappresentato da un vettore la cui direzione è quella della tangente alla linea di forza.

Quando in tutti i punti di una superficie S è definito, in direzione, verso e intensità, un vettore costante C, si denomina flusso del vettore C attraverso la superficie S, il prodotto dell’intensità del vettore per l’area della proiezione S' della superficie S su un piano perpendicolare alla direzione del vettore. Nel caso generale in cui la superficie ha forma qualunque e orientamento spaziale qualunque relativamente ad un campo vettoriale non uniforme, si definisce flusso del vettore rispetto alla superficie S, la somma dei flussi relativi a porzioni molto piccole della superficie sulle quali si può considerare costante, in direzione verso e intensità, il vettore di cui si vuole calcolare il flusso.

Data una distribuzione continua o discreta di cariche, nel vuoto, racchiusa entro una superficie S di forma qualunque, il flusso del vettore campo elettrico uscente da S è dato dal rapporto tra la somma algebrica di tutte le cariche e la costante dielettrica del vuoto (teorema di Gauss): Φ(E) = Σ_i q_i/ε₀.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Nel vuoto spinto, in un laboratorio terrestre, è rigidamente fissata una carica positiva puntiforme q₁ = 10^-8 C. Perpendicolarmente alla carica q₁ viene posta un'altra carica puntiforme negativa q₂ = 10^-6 C in valore assoluto e di massa m₂ = 10^-1 g. Calcolare la posizione d'equilibrio.

Soluzione

All'equilibrio, forza coulombiana = forza peso, quindi:

F_C = P,

cioè:

q₁q₂/4πε₀d² = m₂g,

quindi:

d = √(q₁q₂/4πε₀m₂g) = 0.303 m (zona sottostante).

                      

Problema n. 2

Due cariche incognite, che valgono complessivamente Q = 3·10^-8 C, sono poste alla distanza d = 1 cm e si respingono con la forza F = 1.8·10^-2 N. Determinare il valore delle due cariche.

Soluzione

Q = q₁ + q₂ = 3·10^-8 C,

F = q₁q₂/4πε₀d²,

quindi:

q₁q₂ = 4πε₀ d²F = 2·10^-16 C²,

cioè:

q₁ = 10^-8 C,

q₂ = 2·10^-8 C.

Problema n. 3

si supponga che nell'atomo d'idrogeno l'elettroni ruoti attorno al protone in un'orbita circolare di raggio R = 0.53·10^-10 m. Determinare il periodo T_e di rotazione dell'elettrone e la sua energia cinetica, supponendo altresì che la forza gravitazionale sia trascurabile rispetto a quella elettrostatica. La carica dell'elettrone (protone) è pari a e = 1.6·10^-19 C e le loro masse sono, rispettivamente, m_p = 1.67·10^-27 kg ed m_e = 9.1·10^-31 kg.

Soluzione

Forza centripeta = forza coulombiana:

F_C = F_E,

cioè:

m_eω²R = m_e(4π²/T_e²)R = e²/4πε₀R²,

quindi:

T_e² = 16π³ε₀m_eR³/e²,

perciò:

T_e = (4πR/e)·√(πε₀m_eR) = 1.525·10^-16 s;

ora è:

v_e = ωR = 2πR/T_e = e/[2√(πε₀m_eR)] = 2.18·10⁶ m/s,

in definitiva:

E_c = ½m_ev_e² = e²/8πε₀R = 2.17·10^-18 J.

Problema n. 4

Sono date due cariche di segno uguale, disposte su un piano, con carica q₁ = 10^-6 C e q₂ = 2·10^-6 C rispettivamente. La distanza tra le due cariche è d = 1 m. Determinare le posizioni nelle quali una terza carica rimarrebbe in equilibrio.

Soluzione

Campo elettrico generato da q₁ = campo elettrico generato da q₂ E₁ = E₂:

kq₁/x² = kq₂/(d - x)²,

cioè:

q₂x² = q₁(d - x)²,

quindi:

(q₂ - q₁)x² + 2q₁dx - q₁d² = 0,

in definitiva:

x = d[-q₁ + √(q₁q₂)]/(q₂ - q₂) = 0.4142 m.

Problema n. 5

Un dipolo elettrico, costituito da due cariche di valore assoluto q = 10^-6 C, distanti tra loro d = 1 cm, è immerso in un campo elettrico uniforme, d'intensità E = 10⁴ N/C, perpendicolarmente alle linee di forza del campo stesso. Determinare l'intensità della coppia agente sul dipolo.

Soluzione

Intensità delle forze agenti sul dipolo:

F_E = qE = 10^-2 N,

quindi l'intensità della coppia agente sul dipolo vale:

M = F_Ed = qEd = 10^-4 Nm.

Problema n. 6

In prossimità di una distribuzione piana indefinita di carica negativa, una carica q = 10^-10 C risente di una forza attrattiva pari a F_E = 10^-4 N. Determinare la densità di carica della distribuzione.

Soluzione

Campo elettrico:

E = F_E/q = 10⁶ N/C,

si ha anche, per il teorema di Gauss:

Φ(E) = 2ES = q/ε₀ = σS/ε₀,

quindi:

σ = 2ε₀E = 1.772·10^-5 C/m².

Problema n. 7

Un elettrone entra in un campo elettrico uniforme con velocità v₀ = 10⁵ m/s, parallelamente alle linee di forza del campo. La lunghezza del campo è d = 10 cm e la sua intensità è pari a E = 10³ N/C. Determinare la velocità v₁ dell'elettrone all'uscita del campo. Con tale velocità l'elettrone entra poi in un campo elettrico uniforme, lungo d' = 1 cm, d'intensità pari a E' = 10⁴ N/C, le cui linee di forza sono perpendicolari alla direzione del suo moto. Calcolare l'energia cinetica dell'elettrone all'uscita e il suo spostamento verticale dalla direzione iniziale di moto.

Soluzione

Teorema dell'energia cinetica in presenza di campo elettrico:

½m_ev₁² - ½m_ev₀² = eEd,

quindi:

v₁ = (v₀² + 2eEd/m_e)^1/2 = 5.93·10⁶ m/s;

entrando nell'altro campo elettrico si ha composizione dei movimenti ed il moto dell'elettrone risulterà parabolico:

s_x = v₁t,

s_y = ½a_yt² = ½(eE'/m_e)t²;

ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda equazione, si ottiene:

t = s_x/v₁ = d'/v₁,

s_y = ½eE'd'²/m_ev₁² = 0.25 cm;

la velocità finale all'uscita è la somma vettoriale delle velocita lungo x e lungo y:

v_x = v₁,

v_y = a_yt = eE'd'/m_ev₁ = 2.965·10⁶ m/s,

quindi:

v = (v_x² + v_y²)^1/2 = 6.63·10⁶ m/s,

e in definitiva:

E_C = ½m_ev² = 2·10^-17 J.