LA CONDUZIONE NEI METALLI: LEGGI DI OHM ED EFFETTO JOULE

TEORIA

 

L'intensità della corrente elettrica che fluisce in un conduttore è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale, d.d.p., che esiste ai suoi estremi (prima legge di Ohm): ΔV = Ri.

La costante di proporzionalità tra intensità di corrente e d.d.p. rappresenta la resistenza del conduttore. Essa si misura in ohm. La resistenza di un conduttore dipende dalle caratteristiche geometriche, lunghezza e sezione, e fisiche, struttura del reticolo cristallino, del conduttore (seconda legge di Ohm): R = ρl/S, nonché dalla sua temperatura.

La resistenza totale di un sistema di conduttori in serie si ottiene sommando le resistenze dei singoli conduttori, R_tot = R₁ + R₂ + ... + R_N. La resistenza totale di un sistema di conduttori in parallelo si ottiene calcolando il reciproco della somma dei reciproci delle resistenze dei singoli conduttori: 1/R_tot = 1/R₁ + 1/R₂ + ... + 1/R_N.

Quando una corrente elettrica fluisce in un conduttore per un certo tempo, produce, a causa della resistenza offerta al moto elettronico dalla struttura reticolare del conduttore stesso, una quantità di calore proporzionale alla resistenza del conduttore, al quadrato dell'intensità della corrente che fluisce in esso ed alla durata del flusso, Q = i²RΔt (effetto Joule).

Si definisce forza elettromotrice, f.e.m., di un generatore, il rapporto tra la potenza erogata dal generatore e la corrente che esso mette in circolazione; la f.e.m. corrisponde alla d.d.p. misurabile tra gli estremi del generatore a circuito aperto.

In un circuito, costituito da un generatore dotato di resistenza interna e da una resistenza esterna, la forza elettromotrice del generatore è uguale alla caduta di tensione sulla resistenza interna del generatore e sulla resistenza esterna del circuito. Ancora, la potenza erogata dal generatore è uguale alla potenza assorbita dalla resistenza interna del generatore e dalla resistenza esterna del circuito.

Per la conservazione della carica, se un filo si divide o se più fili si uniscono, si ha che, in un circuito a regime stazionario, la somma delle correnti entranti in un punto, detto nodo, è pari alla somma delle correnti uscenti (legge dei nodi o prima legge di Kirchhoff). Nel contempo, lungo un percorso di una corrente, detto maglia, fissato un verso di percorrenza, la somma algebrica delle forze elettromotrici è pari alla somma delle cadute di potenziale nelle resistenze (legge delle maglie o seconda legge di Kirchhoff).

I misuratori di corrente vengono detti amperometri e i misuratori di d.d.p. vengono detti voltmetri. I primi devono avere una bassa resistenza interna e devono essere inseriti in serie al ramo di cui si vuole determinare l'intensità della corrente che passa. I secondi devono presentare un'alta resistenza interna e devono essere inseriti in parallelo ai punti tra i quali si vuole determinare la d.d.p.

Il ponte di Wheatstone è un apparecchio per misurare resistenze elettriche ed è costituito da quattro resistenze disposte in modo opportuno. Di queste, una è quella incognita, una seconda è variabile e le altre due stanno in rapporto costante tra di loro. La misura della resistenza incognita richiede l’operazione d'equilibratura (o bilanciamento) del ponte.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Agli estremi di un conduttore di rame, di lunghezza l = 10 m e di raggio r = 0.5 cm, è applicata una ddp V = 0.22 V. Sapendo che la resistività del rame vale ρ = 1.72·10^-8 Ωm, determinare la resistenza del conduttore ed il numero di cariche entranti ed uscenti nel conduttore in t = 10 minuti.

Soluzione

Seconda legge di Ohm:

R = ρl/S,

ma:

S = πr²,

quindi:

R = ρl/πr² = 2.2·10^-3 Ω;

intensità di corrente:

i = V/R = 100 A,

perciò la carica totale che attraversa il conduttore in 10 min vale:

Q = it = 6·10⁴ C,

allora il numero di cariche è:

N_e = Q/e = 3.75·10²³ e^-.

Problema n. 2

Si collegano insieme, uno dopo l'altro, un filo di rame, ρ_Cu = 1.72·10^-8 Ωm, ed uno di ferro, ρ_Fe = 10^-7 Ωm, di uguale lunghezza l = 10 m e diametro d = 2 mm. Agli estremi del filo bimetallico si applica una ddp V = 5 V. Calcolare l'intensità della corrente circolante nel conduttore complessivo e la caduta di tensione ai capi di ciascun filo.

Soluzione

I due conduttori uniti costituiscono un sistema con due resistenze in serie:

R_Cu = ρ_Cul/S = 4ρ_Cul/πd² = 0.055 Ω,

R_Fe = ρ_Fel/S = 4ρ_Fel/πd² = 0.318 Ω,

quindi:

V = Ri = (R_Cu + R_Fe),

allora:

i = V/R = 13.4 A;

la caduta di tensione ai capi di ciascun filo è per la 1^ legge di Ohm:

V_Cu = R_Cui = 0.73 V,

V_Fe = R_Fei = 4.27 V.

Problema n. 3

Una ddp V = 0.085 V è applicata per t = 180 s ai capi di un filo, di sezione S = 0.2 cm², di lunghezza l = 10 m e di resistività ρ = 1.7·10^-8 Ωm. Calcolare la carica e il numero di elettroni che, in questo tempo, attraversano ogni sezione della resistenza.

Soluzione

Seconda legge di Ohm:

R = ρl/S = 8.5·10^-3 Ω;

prima legge di Ohm:

i = V/R = 10 A,

quindi: Q = it = 1800 C,

cioè:

N_e Q/e = 1.125·10²² e^-.

Problema n. 4

Si vogliono portare m = 50 litri d'acqua, contenuti in uno scaldabagno elettrico praticamente isolato, da T₁ = 20 °C a T₂ = 80 °C. La resistenza dello scaldabagno è R = 100 Ω ed è costituita da un materiale il cui coefficiente di temperatura è trascurabile. Calcolare la ddp che il generatore deve essere in grado di mantenere ai capi della resistenza dello scaldabagno perché il riscaldamento venga completato in t = 2 ore.

Soluzione

Quantità di calore da fornire all'acqua:

Q = mcΔT = mc(T₂ - T₁) = 3000 kcal = 1.254·10⁷ J;

ora è, per effetto Joule:

Q = i²Rt,

quindi:

i = (mcΔT/Rt)^1/2 = 4.17 A;

in definitiva, per la 1^ legge di Ohm:

V = iR = 417 V.

Problema n. 5

Uno scaldabagno elettrico da m = 80 l impiega una potenza W = 1000 W con una tensione V = 160 v. Si desidera utilizzarlo con una tensione V' = 220 V, a parità di potenza. Calcolare come va modificata la sua resistenza. Tenendo conto che il rendimento dello scaldabagno è η = 0.8, calcolare quanto tempo sarà necessario per portare la temperatura dell'acqua da T₁ = 15 °C a T₂ = 65 °C.

Soluzione

Effetto Joule:

Q = i²RΔt,

prima legge di Ohm:

V = IR,

quindi:

W = Q/Δt = i²R = Vi = V²/R,

allora:

R = V²/W = 25.6 Ω,

R' = V'²/W = 48.4 Ω;

quantità di calore necessaria:

0.8Wt = mc(T₂ - T₁),

perciò:

t = mc(T₂ - T₁)/0.8W = 20900 s = 5 h 48 min 20 s.

Problema n. 6

Un fornello da W = 400 W e V = 160 V viene usato per far bollire m = 1 l d'acqua inizialmente alla temperatura T₁ = 15 °C. Tenendo conto del calore ceduto al metallo che contiene il liquido e di quello scambiato con l'aria circostante, si può dire che il rendimento dell'operazione è η = 0.6. Calcolare dopo quanto tempo l'acqua bolle e la resistenza del fornello.

Soluzione

Quantità di calore necessaria perché l'acqua bolla:

Q = mc(T₂ - T₁) = 0.6Wt,

quindi:

t = mc(T₂ - T₁)/0.6W = 1480 s = 24 min 40 s;

infine da:

W = i²R = Vi = V²/R,

si ottiene:

R = V²/W = 64 Ω.

Problema n. 7

Calcolare la resistenza equivalente del ramo di circuito raffigurato, sapendo che R₁ = 13 Ω, R₂ = 10 Ω, R₃ = 20 Ω, R₄ = 15 Ω, R₅ = 7 Ω. Se il circuito fosse chiuso e fosse fornita una forza elettromotrice (fem) V = 15 V, determinare quale sarebbe il valore della corrente che circola nel circuito.

Soluzione

Resistenze in serie:

R_s = R₂ + R₃,

resistenze in parallelo:

1/R_p = 1/R_s + 1/R₄,

quindi:

R_p = R_sR₄/(R_S + R₄) = (R₂ + R₃)R₄/(R₂ + R₃ + R₄);

ora è:

R_tot = R₁ + R_p + R₅ = R₁ + (R₂ + R₃)R₄/(R₂ + R₃ + R₄) + R₅ = 30 Ω;

per la 1^ legge di Ohm, si ha infine:

V = R_toti,

cioè:

i = V/R_tot = 0.5 A.