CINEMATICA

TEORIA

Si definisce traiettoria l'insieme dei punti per i quali passa il punto matematico nel suo movimento. Le misure, che esprimono le distanze di un punto da un'origine di riferimento, ne individuano le coordinate sulla sua traiettoria. Esse sono rettilinee quando la traiettoria è una retta o un suo segmento; diversamente prendono il nome di coordinate curvilinee.

Il legame fra gli spazi percorsi da un punto nel suo moto ed il tempo impiegato a percorrerli è matematicamente espresso dalla legge oraria, la cui forma più generale è del tipo s = s(t).

Si definisce velocità istantanea di un punto il rapporto tra lo spostamento subito dal punto in un certo intervallo di tempo e l'intervallo di tempo stesso, quando questo tende a zero. La velocità è un ente vettoriale, la cui direzione è sempre tangente alla traiettoria del moto. Sue unità di misura sono m/s nel sistema SI e cm/s nel sistema CGS.

Si definisce accelerazione istantanea di un punto il rapporto tra la variazione vettoriale della velocità subita dal punto in un certo intervallo di tempo e l'intervallo di tempo stesso, quando questo tende a zero. L'accelerazione è un ente vettoriale. In un moto generico, l'accelerazione si può pensare come somma di un componente tangente alla traiettoria, detto accelerazione tangenziale, responsabile della variazione in modulo della velocità, e di un componente perpendicolare alla traiettoria e rivolto verso il centro di essa, componente centripeto, detto accelerazione centripeta, responsabile della variazione di direzione della velocità, quindi: vettore accelerazione = vettore accelerazione tangenziale + vettore accelerazione centripeta. Unità di misura dell'accelerazione sono m/s² nel sistema SI e cm/s² nel sistema CGS.

Si definisce rettilineo ed uniforme il moto di un punto che si compie su una traiettoria rettilinea con velocità costante. La legge oraria del moto si esplicita, in questo caso, nella forma: 

s" = s' + v (t" – t'), 

ove v indica il modulo della velocità del punto. La sua rappresentazione grafica in un sistema (s, t) è una semiretta la cui inclinazione è legata al valore della velocità.

Si definisce rettilineo con accelerazione costante il moto di un punto che si svolge su una traiettoria rettilinea con accelerazione costante e non nulla. Quando a > 0, il moto si dice accelerato, quando a < 0, esso si dice decelerato. In entrambi i casi le velocità sono direttamente proporzionali ai tempi: 

v" = v' + a (t" – t') 

e 

v" = v' - a (t" – t').

La rappresentazione grafica della relazione velocità – tempo è data da una semiretta la cui inclinazione è legata al valore dell'accelerazione. Nella legge oraria gli spazi sono invece proporzionali al quadrato dei tempi, 

s = s0 + v0t + at²/2, 

nel moto uniformemente accelerato, 

s = s0 + v0t – at²/2, 

in quello uniformemente decelerato, e la sua rappresentazione grafica è un arco di parabola.

La velocità angolare istantanea, di un punto in moto su un arco di curva, è una grandezza vettoriale la cui direzione è individuata dalla perpendicolare al piano nel quale giace la traiettoria del punto nell'istante considerato, il cui verso è individuato da quello di movimento, lungo il proprio asse, di una vite sollecitata a ruotare nel verso di moto del punto, il cui modulo è definito dal rapporto tra l'angolo, espresso in radianti, descritto in un certo intervallo di tempo, e l'intervallo di tempo stesso quando questo tende a zero. Il vettore accelerazione angolare è definito dalla relazione vettoriale, definita dal rapporto tra la variazione vettoriale della velocità angolare in un certo intervallo di tempo, e l'intervallo di tempo stesso, quando quest'ultimo tende a zero.

Si definisce periodico il moto di un punto che, ad intervalli costanti di tempo, riassume la medesima posizione con le medesime caratteristiche cinematiche. In un moto periodico, si definisce periodo T il tempo impiegato dal punto a descrivere un ciclo completo del moto. Si definisce frequenza f il numero di cicli compiuti nell'unità di tempo. Il legame tra periodo e frequenza è dato dalla relazione: 

T = 1/f.

Si definisce circolare ed uniforme il moto di un punto che si svolge su una circonferenza con v = costante. Il legame tra la velocità di un punto su una circonferenza di raggio R e la sua velocità angolare è individuato dall'espressione velocità lineare = velocità angolare x raggio R. Un punto che si muove di moto uniforme, v = costante, su una circonferenza di raggio R, possiede un'accelerazione centripeta il cui valore è dato dalla relazione: accelerazione centripeta = (velocità lineare)²/(raggio R) = (velocità angolare)² x raggio R.

La composizione dei movimenti è regolata dal principio di Galileo, secondo il quale, se un punto P è soggetto, nel tempo t, a due movimenti simultanei, capaci di produrre su di esso, rispettivamente, lo spostamento s1 e lo spostamento s2 , il punto P, dopo il tempo t, si trova nel punto ove si troverebbe qualora seguisse, indipendentemente, uno dopo l'altro, i due movimenti.

PROBLEMI

Problema n. 1

Un punto, dotato di una velocità costante v = 5 m/s, si muove in linea retta verso destra. All'istante t₁ = 10 s si trova a s₁ = 10 m dall'origine. Dove si troverà dopo t₂ = 60 s dall'inizio del suo movimento?

Soluzione

Moto rettilineo uniforme:

s₂ = s₁ + v(t₂ – t₁) = 260 m.

Problema n. 2

Un punto, dotato di accelerazione costante a = 5 m/s, si muove in linea retta verso destra. All'istante t₁ = 10 s possiede una velocità v₁ = 10 m/s. Quale sarà la sua velocità dopo t₂ = 60 s dall'inizio del suo movimento?

Soluzione

Moto rettilineo uniformemente accelerato:

v₂ = v₁ + a(t₂ – t₁) = 260 m/s.

Problema n. 3

Un sasso viene lanciato dalla sommità di un pozzo, verticalmente, verso il basso con una velocità  v₀   = 10 m/s. Dopo t = 3 s si ode il tonfo del sasso nell'acqua. Determinare la profondità del pozzo rispetto al pelo dell'acqua. 

Soluzione

Moto rettilineo uniformemente accelerato:

s = v₀t₁ + ½gt₁²,

ove v₀ è la velocità iniziale del sasso e g è l'accelerazione di gravità, g = 9.8 m/s².

Moto rettilineo uniforme:

s = v_st₂,

ove v_s è la velocità del suono nell'aria, v_s = 336 m/s.

Ora è:

t = t₁ + t₂, cioè: t₂ = t – t₁.

Sostituendo si ottiene: 

v₀t₁ + ½gt₁² = v_s(t – t₁),

cioè:

gt₁² + 2(v_s + v₀)t₁ – 2v_st = 0,

allora:

t₁ = {-(v_s + v₀) + √[(v_s + v₀)² + 2gv_st]}/g = 2.8 s (si accetta solo la radice positiva).

Infine si ha:

s = v_st₂ = v_s(t – t₁) = 67.2 m.

Problema n. 4

Un'automobile abborda una curva avente raggio R = 100 m, con una velocità costante v = 30 m/s. Calcolare: a) la sua velocità angolare; b) l'ampiezza dell'angolo descritto e la lunghezza dell'arco di curva percorso dopo t = 3 s dall'inizio della stessa; c) la sua accelerazione centripeta.

Soluzione

Moto circolare uniforme:

a) velocità angolare,

ω = v/R = 0.3 rad/s

b) ampiezza angolo,

α = ωt = 0.9 rad

lunghezza arco di curva,

s = αR = 90 m

c) accelerazione centripeta:

a_c = v²/R = ω²R = 9 m/s²

Problema n. 5

Un punto ruota su una circonferenza di raggio R  = 2 m con velocità angolare  ω₁ = 2π rad/s,  mentre la circonferenza ruota, essa stessa, con velocità angolare ω₂ = 2π rad/s. Determinare l'accelerazione centripeta del punto.

Soluzione

Composizione di movimenti:

velocità angolare del punto P rispetto ad un osservatore a terra:

ω = ω₁ + ω₂,

quindi:

a_c = ω²R = (ω₁ + ω₂)²R = (ω₁² + 2ω₁ω₂ + ω₂²)R = 24π² m/s².