TEORIA DEL GAS IDEALE

TEORIA

 

Si definisce ideale un gas le cui molecole siano masse puntiformi non interagenti in alcun modo.

Le leggi che controllano le trasformazioni di un gas ideale sono le seguenti: pV = k(T) (legge di Boyle per le isoterme, T costante), V(t) = V₀(1 + at) (legge di Charles per le isobare, p costante), p(t) = p₀(1 + at) (legge di Gay-Lussac per le isocore, V costante), pV = nRT (equazione di stato dei gas ideali).

Utilizzando la costanza del coefficiente di dilatazione dei gas ideali, è possibile definire una nuova scala delle temperature, la scala delle temperature assolute, al cui zero corrisponde uno stato fisico d'energia nulla.

La trattazione microscopica dinamica del gas ideale (teoria cinetica) pone in evidenza la proporzionalità diretta tra la temperatura del gas e l'energia cinetica media di traslazione delle sue molecole.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

In un recipiente chiuso è contenuto del gas, che supporemo ideale, a T₁ = 10 °C e p₁ = 760 torr. Dopo aver posto il gas in contatto con una sorgente di calore, la sua pressione sale a p₂ = 780 torr. Determinare l'aumento di temperatura del gas.

Soluzione

Trasformazione di un gas ideale a volume costante (legge di Gay-Lussac):

p₁ = p₀(1 + αT₁) ⇒

p₀ = p_{1/(1 + αT1) ⇒}

p₂ = p₀(1 + αT₂) = p₁(1 + αT₂)/(1 + αT₁) ⇒

T₂ = p₂(1 + αT₁)/αp₁ - 1/α = 17.4 °C.

Problema n. 2

64 g di ossigeno molecolare, O₂, in condizioni d'idealità, sono contenuti in un recipiente alla temperatura T = 373 K e alla pressione p = 10 atm. Determinare il volume del recipiente.

Soluzione

Moli di O₂ = massa di O₂/peso molecolare di O₂:

n = M_O2/PM_O2 = 2 moli;

equazione di stato dei gas ideali (R = 8.317 J/K·mole = 0.0821 l·atm/K·mole):

pV = nRT ⇒

V = nRT/p = 6.125 l = 6.125 dm³.

Problema n. 3

Un gas, trattabile come ideale, ha, a T₁ = 298 K e a pressione ordinaria, p₁ = 1 atm, la densità δ₁ = 1.5 g/l. Determinare quale sarebbe la sua densità se fosse contenuto in un recipiente alla pressione p₂ = 3 atm e alla temperatura T₂ = 373 K.

Soluzione

Equazione di stato dei gas ideali:

p₁V₁ = nRT₁,

p₂V₂ = nRT₂,

ma n = m/PM ⇒

p₁V₁ = mRT₁/PM,

p₂V₂ = mRT₂/PM ⇒

p₁/p₂ = δ₁T₁/δ₂T₂ ⇒

δ₂ = δ₁p₂T₁/p₁T₂ = 3.6 g/l.

Problema n. 4

200 cm³  di un gas che, a T₁ = 18 °C, hanno la pressione p = 760 torr, vengono scaldati a T₂ = 30 °C. Calcolare il nuovo volume se la pressione viene mantenuta costante.

Soluzione

Trasformazione di un gas ideale a pressione costante (legge di Charles):

V₁ = V₀(1 + αT₁) ⇒

V₀ = V_{1/(1 + αT1) ⇒}

V₂ = V₀(1 + αT₂) = V₁(1 + αT₂)/(1 + αT₁) = 208.25 cm³.

Problema n. 5

Un recipiente di V₁ = 2 m³ contiene un gas a T₁ = 273 K e p₁ = 760 torr. Il volume del recipiente viene portato a V₂ = 3 m³, mentre la temperatura del gas viene fatta passare a T₂ = 373 K. Determinare la pressione finale del gas.

Soluzione

Equazione di stato dei gas ideali:

p₁V₁ = nRT₁,

p₂V₂ = nRT₂ ⇒

p₂V₂/p₁V₁ = T₂/T₁ ⇒

p₂ = p₁V₁T₂/V₂T₁= 692 torr.

Problema n. 6

Calcolare la massa d'aria contenuta in un'aula di 12 x 8 x 3 m di dimensioni e determinare anche il numero di molecole, sapendo che la pressione atmosferica è p = 750 torr, la temperatura T = 300 K e PM_aria = 29 g/mole.

Soluzione

Equazione di stato dei gas ideali:

pV = nRT;

ora è:

n = m/PM ⇒

pV = m_ariaRT/PM_aria ⇒

m_aria = PM_ariapV/RT = 335 kg;

numero molecole = numero moli · numero di Avogadro N₀ (6.023·10²³ molecole/mole):

n_aria = m_aria/PM_aria ⇒

N_aria =  n_ariaN₀ = m_ariaN₀/PM_aria = 6.95·10²⁷.

Problema n. 7

Calcolare la temperatura alla quale una molecola d'idrogeno, H₂, possiede una velocità che le consenta di sfuggire alla gravità terrestre.

Soluzione

Conservazione dell'energia nel campo gravitazionale terrestre:

E_C = ½m_H2v² = Gm_H2M_T/R_T

equazione di Clausius:

E_C = 3kT/2 ⇒

3kT/2 = Gm_H2M_T/R_T ⇒

T = 2Gm_H2M_T/3kR_T = 10112 K.