MOTO PLANETARIO

TEORIA

  

Utilizzando le leggi di Keplero (orbite ellittiche dei pianeti attorno al sole, costanza della velocità areolare dei pianeti come conseguenza della conservazione del momento angolare in un campo di forza centrale, proporzionalità tra il cubo del raggio orbitale e il quadrato del periodo di rivoluzione), Newton enunciò la legge di gravitazione universale, secondo la quale due corpi qualunque si attraggono con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza, F = Gm₁m₂/r².

Cavendish, per primo, con una bilancia a torsione, determinò sperimentalmente il valore della costante di gravitazione universale G, trovando per essa il valore, misurato nel sistema SI, di 6.67·10^-11 Nm²/kg². La conoscenza di G permette, noti il raggio terrestre e le distanze interplanetarie, di determinare la massa dei pianeti e dei loro soli.

Si definisce campo di forze gravitazionali la regione di spazio nella quale si fanno sentire le azioni gravitazionali di un corpo di massa m. In ogni punto di questo campo è possibile definire un vettore la cui direzione è la congiungente il punto con il centro del corpo che genera il campo, il cui verso è sempre centripeto e la cui intensità è definita dall'espressione Γ = Gm/r², r essendo la distanza del punto in esame dal centro del corpo. Per r = R_T è evidente che g = Gm/R_T².

Quando un corpo di massa m₁ è situato in un campo gravitazionale prodotto da un corpo di massa m₂, a distanza r da esso, è possibile associare al corpo stesso un'energia potenziale E_P = -Gm₁m₂/r.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Un satellite, orbitante ad una distanza media d = 500 km dalla superficie terrestre, compie una rivoluzione in T = 98 minuti. Determinare la massa M_T della Terra.

Soluzione

forza centripeta = forza gravitazionale, quindi:

mω²(R_T + d) = GmM_T/(R_T + d)²,

ma:

ω = 2π/T,

perciò:

4π²(R_T + d)/T² = GM_T/(R_T + d)²,

in definitiva:

M_T = 4π²(R_T + d)³/GT² = 5.624 · 10²⁴ kg.

Problema n. 2

La massa della Luna è M_L = 6.7 · 10²² kg e il suo raggio R_L = 1.6 · 10⁶ m. Si determini il periodo di oscillazione T_L, sulla sua superficie, di un pendolo il cui periodo è pari a T_T = 2 s sulla Terra.

Soluzione

accelerazione di gravità sulla superficie lunare:

g_L = GM_L/R_L² = 1.746 m/s²;

periodo di oscillazione di un pendolo sulla superficie terrestre:

T_T = 2π√(l/g_T),

quindi:

l = g_TT_T²/4π²,

sostituendo si ottiene:

T_L = 2π√(l/g_L) = T_T√(g_T/g_L) = 4.74 s.