TERMODINAMICA

TEORIA

 

Si definisce equivalente termico del lavoro il coefficiente che esprime numericamente la quantità di calore corrispondente all'unità di lavoro. Si definisce equivalente meccanico del calore il coefficiente che esprime numericamente la quantità d'energia corrispondente all'unità di calore.

Il principio di conservazione dell'energia per un sistema non isolato mantiene la sua validità, pur di prendere in considerazione anche la forma termica dell'energia.

Il primo principio della termodinamica afferma che la quantità di calore che l'esterno fornisce ad un sistema è uguale al lavoro compiuto dal sistema sommato alla variazione della sua energia interna: Q = L + ΔU. Esso cioè implica il conservarsi dell'energia.

Il secondo principio della termodinamica si può enunciare nelle due forme equivalenti che seguono:

1) è impossibile realizzare un congegno che, trasformando calore in lavoro, utilizzi una sola sorgente di calore o che non implichi, nel contempo, una sua trasformazione (enunciato di Lord Kelvin);

2) il calore non può, spontaneamente, passare da un corpo ad uno più caldo (enunciato di Clausius).

Si definisce reversibile ogni trasformazione che avviene attraverso una successione di stati d'equilibrio, ove, per stato d'equilibrio di un sistema, s'intende quella particolare condizione nella quale tutto il sistema è caratterizzato dai medesimi valori della pressione, del volume e della temperatura.

Quando un sistema, dopo una serie di trasformazioni, torna alle condizioni iniziali, si dice che esso compie un ciclo. Un particolare ciclo è quello di Carnot, costituito da quattro trasformazioni, tutte reversibili, di cui due adiabatiche e due isoterme. Si dimostra che il rendimento di una macchina termica ideale che esegue il ciclo di Carnot, scambiando calore con due termostati, di cui uno alla temperatura T" e l'altro alla temperatura T', è espresso dalla relazione: η = 1 - T'/T".

Ogni macchina termica ideale, che esegua un qualunque ciclo reversibile tra i termostati alla temperature T" e T', ha il medesimo rendimento, espresso quindi dalla relazione: η = 1 - T'/T".

Sfruttando il secondo principio della termodinamica, ed in particolare la formula Q'/Q" = T'/T", che si deduce dal calcolo del rendimento di un motore reversibile, è possibile ricondurre misure di temperatura a misure di quantità di calore, definendo così una scala termodinamica assoluta delle temperature.

E' possibile, con buona approssimazione, descrivere il ciclo reale irreversibile di un motore a scoppio tramite un ciclo ideale reversibile, il ciclo di Otto, costituito da due adiabatiche e due isocore. Ciò permette di calcolare teoricamente un limite superiore per il rendimento di un motore a scoppio, che può essere espresso come: η = 1 - 1/(V/V')^γ-1, con γ = C_p/C_V e la quantità r = V/V' è il cosiddetto rapporto di compressione.

La proprietà d'irreversibilità, caratteristica di ogni sistema fisico reale, è da associarsi alla tendenza della natura ad evolvere verso uno stato di disordine non riordinabile spontaneamente. Lo stato di disordine di un sistema è misurabile attraverso una funzione matematica chiamata entropia. L'entropia di un sistema fisico termodinamico (macrostato) è associabile al numero di sistemi fisici dinamici (microstati) che lo realizzano. Il terzo principio della termodinamica assume che allo stato di zero assoluto corrisponda un solo microstato. Perciò allo zero assoluto, 0 K, s'annulla il valore dell'entropia corrispondente a tale stato.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

Un recipiente cilindrico contiene m = 3 kg di un gas ideale di calore specifico c_p = 0.24 cal/kg°C. Il recipiente è isolato termicamente dall'esterno e il coperchio, che si suppone di peso trascurabile, è mobile senza attriti. Calcolare la variazione di temperatura prodotta da un'espansione del gas pari a ΔV = 1 m³.

Soluzione

Primo principio della termodinamica:

Q = L + ΔU;

sistema isolato termicamente:

Q = 0,

quindi:

L = - ΔU = -U₂ + U₁,

perciò:

L = p₀ΔV = mc_p∆T,

cioè:

∆T =  p₀ΔV/mc_p = 33.77 °C.  

Problema n. 2

In un'esperienza con l'apparecchio di Joule i due contrappesi, di massa M = 5 kg, vengono fatti scendere N = 100 volte per un tratto h = 0.5 m. Nel calorimetro è contenuto m = 1 kg d'acqua, alla temperatura T = 20 °C. Determinare la temperatura finale del sistema, supponendo che l'equivalente in acqua del calorimetro sia nullo.

Soluzione

Energia meccanica (lavoro) prodotta dai pesi in caduta:

E = 2N·Mgh = 4903 J = 1176.72 cal;

Primo principio della termodinamica:

Q = L + ΔU;

non essendoci lavoro d'espansione (L = 0), si ha:

Q = ΔU = mc∆T,

quindi:

mc∆T = 2N·Mgh,

cioè:

∆T = T' - T = 2N·Mgh/mc = 1.18 °C,

T' = T + ∆T = 21.18 °C.

Problema n. 3

m = 20 g di gas vengono espansi a pressione costante da un volume V = 0.2 dm³ a uno V' = 1 dm³. Durante l'espansione l'esterno ha fornito al gas Q = 4 cal e, alla fine, la temperatura del gas è diminuita di ∆T = - 5 °C. Calcolare il calore specifico del gas relativo a questo particolare processo.

Soluzione

Primo principio della termodinamica:

Q = L + ΔU = p₀ΔV + mc_pΔT = p₀(V' - V) + mc_pΔT,

quindi:

c_p = [Q - p₀(V' - V)]/mΔT = 0.643 cal/g°C.

Problema n. 4

Un satellite, di massa M = 10 kg, penetra perpendicolarmente in uno strato denso dell'atmosfera, poco distante dalla superficie terrestre, stabilizzandosi ad una velocità v_sat = 1000 m/s. Determinare l'innalzamento della temperatura del satellite dopo un percorso d = 10 km, assumendo per il suo calore specifico medio il valore c_sat = 0.2 kcal/kg°C.

Soluzione

Corpo in caduta libera e in presenza d'attrito:

F = ma = P - F_a,

essendo v_sat = costante, si ha:

a = 0,

e

F_a = Mg;

lavoro forze d'attrito trasformato in calore:

Q = L_a = F_a·d =Mgd = 9.806·10⁵ J = 2.35344·10² kcal

Primo principio della termodinamica:

Q = L + ΔU,

ma L = 0, non essendoci lavoro d'espansione, quindi:

Q = ΔU = Mc_satΔT,

cioè:

ΔT = Q/Mc_sat = Mgd/Mc_sat = 117.7 °C.

Problema n. 5

Durante un processo isocoro la temperatura di un kg di gas, per il quale si ha C_V = 0.112 kcal/kg °K, passa da T₁ = 294 K a T₂ = 367 K. Determinare il calore da esso assorbito e la variazione della sua energia interna.

Soluzione

Primo principio della termodinamica:

Q = L + ΔU,

processo isocoro, V = cost, allora:

L = 0

e

Q = ΔU,

ma:

ΔU = mc_V∆T = 8.176 kcal

e

Q = ΔU = 8.176 kcal.

Problema n. 6

Una macchina termica ha rendimento η = 0.075. Il vapore viene immesso in essa a T_A = 403 K e viene espulso da essa a T_C = 253 K. Quale percentuale dell'energia meccanica prodotta viene dissipata in attrito ed in altre perdite?

Soluzione

Rendimento macchina termica:

η_teo = L/Q_A = (Q_A – Q_C)/Q_A = (T_A – T_C)/T_A = 1 – T_C/T_A = 0.37

quindi:

Δη% = 100(η_teo – η) = 29.5% .

Problema n. 7

Alla pressione p = 35.3 atm l'acqua bolle a T = 245 °C. Calcolare il massimo rendimento di una macchina termica se il vapore si trova nella sua caldaia a p' = 35.5 atm e la temperatura del suo condensatore è t = 50 °C.

Soluzione
Si ha:
T_A = T + 273 °C,

 T_C = t + 273 °C;
rendimento macchina termica:

η_teo = L/Q_A = (Q_A – Q_C)/Q_A = (T_A – T_C)/T_A = 1 – T_C/T_A = 1 - T_C/T_A = 0.376.