STATICA E DINAMICA DEI FLUIDI

TEORIA

 

Una pressione applicata ad un fluido si trasmette inalterata ad ogni porzione del fluido e ad ogni altra superficie in suo contatto, indipendentemente dalla posizione e dall'orientamento della superficie (principio di Pascal).

Dato un fluido incomprimibile e di densità costante, la pressione ad una profondità h è data dalla somma della pressione esterna, agente sulla superficie libera del fluido, e da quella prodotta dal peso di una sua colonna di altezza h sulla relativa superficie di base (principio di Stevino).

In recipienti posti in comunicazione fra loro, le superfici libere di un liquido, di densità costante, sono disposte al medesimo livello. Quando diviene preponderante l'azione delle forze di coesione e di adesione (tubi capillari), il livello del liquido nei capillari di minor diametro è più alto o più basso a seconda che il liquido bagni o meno le pareti.

Si definisce atmosfera la pressione esercitata dall'atmosfera sulla superficie terrestre. Essa equivale alla pressione che una colonna di 760 mm di mercurio a 0 °C esercita sulla propria base.

Un corpo, immerso in un fluido, riceve una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del fluido spostato (principio di Archimede).

Per un fluido ideale, in regime stazionario, il principio di conservazione dell'energia è espresso dall'equazione di Bernoulli, secondo la quale la somma delle energie potenziale, cinetica e di pressione di una certa massa fluida è costante nel tempo.

Due sono i tipi di movimento di cui può essere animato un fluido: laminare e turbolento. Il primo è quello nel quale i diversi strati molecolari si comportano come se scivolassero gli uni sugli altri senza rimescolarsi; il secondo, invece, si sviluppa con rimescolamento degli strati che si richiudono su se stessi con formazione di vortici ad alta velocità.

Le forze d'attrito, che rallentano il moto di un corpo in un fluido, sono proporzionali alla prima potenza della velocità del corpo e dipendono solo dalla viscosità del fluido quando il fluido ha un comportamento laminare, dipendono, invece, dal quadrato della velocità del corpo e dalla densità del fluido quando questi ha un comportamento turbolento.

PROBLEMI

 

Problema n. 1

In un tubo ad U, contenente acqua, viene versato un liquido con essa immiscibile. Si osserva che il dislivello tra i peli liberi del liquido e dell'acqua al termine dell'operazione è di h = 5 cm e che la colonnina di liquido misura h₁ = 40 cm. Determinare la densità relativa del liquido.

Soluzione

Si ha:

h = h₁ - h₂ ⇒

h₂ = h₁ - h = 35 cm.

Essendo:

pressione liquido 1 = pressione liquido 2 ⇒

p₁ = p₂ ⇒

p₀ + δ₁gh₁ = p₀ + δ₂gh₂ ⇒

δ₁h₁ = δ₂h₂ ⇒

δ₁h₁ = δ₂(h₁ - h) ⇒

δ₁ =  δ₂(h₁ - h)/h₁ = δ₂(1 - h/h₁) = 0.875.

Problema n. 2

Determinare l'accelerazione con la quale si muove un corpo, di densità δ₁ = 1.5 kg/dm³, cadendo in un liquido di densità δ₂ = 0.9 kg/dm³, di cui si trascurino gli attriti.

Soluzione

Corpo in caduta in un fluido, forza risultante = forza peso - spinta d'Archimede:

F = P - A = mg - m'g = δ₁gV - δ₂gV = (δ₁ - δ₂)gV = ma = δ₁aV ⇒

a = (δ₁ - δ₂)g/δ₁ = (1 - δ₂/δ₁)g = 3.92 m/s².

Problema n. 3

Un pallone d'alluminio è riempito d'elio. Il suo volume è V = 50 m³ e la sua massa totale è M_tot = 15 kg. Quale deve essere la densità dell'aria perché esso non sia sottoposto ad alcuna forza ascenzionale?

Soluzione

In prossimità della superficie terrestre la forza ascenzionale agente sul pallone vale:

F = M_tota = δ_ariaVg - M_totg ⇒

a = (δ_ariaV - M_tot)g/M_tot = (δ_ariaV/M_tot - 1)g = 32.438 m/s².

Tale accelerazione decresce salendo perché la densità dell'aria diminuisce e, quindi, diminuisce la spinta archimedea verso l'alto; la forza ascenzionale si annulla quando la spinta archimedea uguaglia la forza peso del pallone:

δ_xgV = M_totg ⇒

δ_x =  M_tot/V = 0.3 kg/m³.

Problema n. 4

Un tubo orizzontale, di diametro D = 20 cm, restringe la sua sezione al diametro d = 4 cm. Nel tubo scorre dell'acqua con una portata Q = 3 litri/s. Calcolare la pressione in corrispondenza della sezione più piccola sapendo che in corrispondenza di quella grande è p₁ = 1.5 atm.

Soluzione

Portata = velocità del fluido · sezione:

Q = v₁S₁ = πD²v₁/4 = v₂S₂ = πd²v₂/4 ⇒

v₁ = 4Q/πD²,

v₂ = 4Q/πd²;

equazione di Bernoulli (principio di conservazione dell'energia in fluidodinamica):

½mv₁² + mgh₁ + p₁V = ½mv₂² + mgh₂ + p₂V,

ma per un tubo in posizione orizzontale:

h₁ = h₂ ⇒

½mv₁² + p₁V = ½mv₂² + p₂V ⇒

p₂ = ½(m/V)(v₁² - v₂²) + p₁ = (8/π²)δ_H2O(1/D⁴ - 1/d⁴)Q² + p₁ =  1.472 atm

Problema n. 5

Attraverso un tubo orizzontale di sezione S₁ = 4 cm² scorre acqua marina, δ = 1250 kg/m³. Il tubo si riduce ad una sezione S₂ = 2 cm². Nelle due sezioni si registra una differenza di pressione Δp = 0.02 atm. Calcolare la portata del tubo.

Soluzione

Equazione di Bernoulli (principio di conservazione dell'energia in fluidodinamica):

½mv₁² + mgh₁ + p₁V = ½mv₂² + mgh₂ + p₂V,

ma per un tubo in posizione orizzontale:

h₁ = h₂ ⇒

½mv₁² + p₁V = ½mv₂² + p₂V ⇒

Δp = p₁ - p₂ = ½(m/V)(v₂² - v₁²),

ma:

δ = m/V,

Q = v₁S₁ = v₂S₂ ⇒

Δp = p₁ - p₂ = ½δQ²(1/S₂² - 1/S₁²) ⇒

Q = [2ΔpS₁²S₂²/δ(S₁² - S₂²)]^1/2 = 4.158·10^-4 m³/s.

Problema n. 6

Con quale pressione l'acqua deve essere immessa nelle tubature per poter raggiungere l'ultimo piano di un edificio alto h = 80 m?

Soluzione

Equazione di Bernoulli (principio di conservazione dell'energia in fluidodinamica):

½mv₁² + mgh₁ + p₁V = ½mv₂² + mgh₂ + p₂V,

ma:

v₁ = v₂ = 0,

h₁ = 0, h₂ = h = 80 m,

p₂ = p₀ = 1 atm ⇒

p₁ = p₀ + δgh = 8.74 atm.